Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы

I уровень

1.1. Даны векторы Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

Найдите координаты вектора:

1) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru 2) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

3) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru 4) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

1.2. Даны векторы Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru Определите, при каком значении Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru векторы Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru и Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru коллинеарны.

1.3. Вектор Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru образует с ортом Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru угол α. Вычислите координаты вектора Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru на плоскости, если:

1) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru 2) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

3) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru 4) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

5) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru 6) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

1.4. Заданы векторы Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru Вычислите:

1) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru ;

2) орты векторов Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

3) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

4) координаты вектора Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru .

1.5. Вычислите скалярное произведение векторов, заданных своими координатами:

1) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru 2) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

1.6. Найдите угол между векторами:

1) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru 2) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

1.7. Вычислите работу, производимую силой Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru при перемещении ее точки приложения из начала в конец вектора Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

II уровень

2.1. Известно, что A(2, –7), B(4, 1). Найдите:

1) координаты вектора Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru 2) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru ;

3) орт вектора Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

2.2. Даны векторы Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru Определите, при каком значении коэффициента k векторы коллинеарны:

1) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru и Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

2) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru и Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

3) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru и Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru .

2.3. Известно, что вектор Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru является суммой векторов Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru Найдите m и n.

2.4. Отрезок с концами в точках А(3, –2) и В(6, 4) разделен на три равные части. Найдите координаты точек деления.

2.5. Вычислите скалярное произведение векторов Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru и Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru если:

1) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

2) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru .

III уровень

3.1. Сила Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru разложена по двум перпендикулярным направлениям, одно из которых задано вектором Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru Найдите направляющую силы в направлении этого вектора.

3.2. Подберите ненулевые числа α, β, γ так, чтобы Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru где Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

3.3. Даны три вершины А(3, –4), В(–5, 3) и С(1, 2) параллелограмма ABCD. Найдите его четвертую вершину D.

3.4. Даны вершины треугольника А(3, –1), В(4, 2) и С(–4, 0). Найдите длину медианы, проведенной из вершины А.

3.5. Даны вершины А(1, –1), В(2, 1), С(–5, 2) треугольника АВС. Вычислите длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.

3.6. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А(3, –2), В(3, 1), С(4, 0). Вычислите расстояние от начала координат до точки пересечения медиан этого треугольника.

3.7. В вершинах треугольника А(1, –1), В(0, 4) и С(2, –1) сосредоточены массы соответственно 1, 2, 3. Найдите координаты центра масс этой системы. (Указание: для пары масс m1 и m2, сосредоточенных в точках А и В, центр находится в точке, делящей отрезок АВ в отношении Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru где l1 и l2 – расстояния от точек с соответствующими массами до их центра).

3.8. Даны векторы Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru Найдите вектор Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru лежащий с векторами Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru и Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru в одной плоскости, перпендикулярный вектору Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru равный ему по длине и образующий с вектором Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru тупой угол.

3.9. Представьте ненулевой вектор Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru в виде линейной комбинации векторов Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru и Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

Полярная система координат. Способы задания

Кривой на плоскости

Выделим на плоскости произвольную точку О – полюс – и проведем числовой луч ОР – полярную ось. Расстояние от полюса до произвольной точки М обозначим ρ, а величину угла, на который нужно повернуть ОР, чтобы совместить с ОМ, обозначим через φ. Будем считать φ положительным, если поворот совершается против часовой стрелки, и отрицательным – в противном случае.

Величины ρ и φ называются полярными координатами точки М: (ρ – полярный радиус, φ – полярный угол). Принято считать, что Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru или Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru а полюс имеет нулевые полярные координаты.

Если заданы одновременно прямоугольная система координат xOy и полярная с полярной осью Ox, то можно установить связь между прямоугольными (x, y) и полярными (ρ, φ) координатами точки М на плоскости с помощью следующих формул:

Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru (13)

Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru (14)

Можно рассматривать уравнения кривых в полярных координатах: ρ = ρ(φ) или Ф(ρ, φ) = 0.

Пример 1. Найти полярные координаты точек Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

Решение. Точка Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru лежит в 1-й четверти прямоугольной системы координат. Значит, полярный угол φ удовлетворяет условию 0 < φ < π/2, причем согласно первой формуле системы (14) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru Следовательно, Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru что приводит к Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru . Итак, Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru .

Точка B Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru является внутренней точкой 3-й четверти прямоугольной системы координат, следовательно, Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru (или Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru ). Найдем полярный радиус (используем (14)):

Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

Тогда Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru Значит, Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru или Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru . Таким образом, точку B в полярной системе координат можно задать как B Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru или Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru .

Рассмотрим точку Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru . Учитывая, что Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru , а значит, Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru , определяем, что точка С лежит во 2-й четверти прямоугольной системы координат. Ее полярный радиус, согласно (14), есть

Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

Для нахождения полярного угла φ поступим следующим образом. Найдем Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru , затем, воспользовавшись тем, что наименьший положительный период функции y = tgx равен π, а угол φ удовлетворяет соотношению Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru , получим

Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

Значит, Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru .

З а м е ч а н и е. При использовании формулы Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru при нахождении полярного угла целесообразно изображать эти точки на чертеже (рис. 9).

Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

Рис. 9

Пример 2. Зная полярные координаты точек Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru , B Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru , Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru , найти их прямоугольные координаты.

Решение. Используя формулы (13), находим прямоугольные координаты заданных точек.

Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

Значит, Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

Значит, B(–1, 1).

Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

Значит, Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

Пример 3.Зная полярные координаты точки ρ = 10, Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru , найти ее прямоугольные координаты, если полюс находится в точке А(2, 3), а полярная ось параллельна оси Ox.

Решение.Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy, удовлетворяющую условию задачи (рис. 10). Тогда точка Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru в этой системе координат определена, как М(xM, yM).

 
  Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

Рис.10

Очевидно, что

Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

Таким образом, в заданной прямоугольной системе координат точка М определена как Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru

Пример 4. Составить параметрические уравнения окружности x2 + y2 = 1, приняв за параметр угол между осью Ox и радиус-вектором Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru где О – центр окружности, М – ее точка.

Решение. Пусть точка М имеет прямоугольные координаты Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru , Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru Тогда, по определению тригонометрических функций, Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru где Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru . Таким образом, получили параметрические уравнения окружности.

Пример 5. Найти уравнение фигуры на плоскости в прямоугольных координатах, если она имеет следующее уравнение в полярной системе координат:

1) ρ = 4; 2) Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru ; 3) ρ = 2cosφ.

Решение. Для решения примеров будем использовать формулы (14).

1. Поскольку Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru . Возводим в квадрат и получаем Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru – уравнение окружности с центром в точке (0, 0) и радиусом r = 4.

2. Уравнение Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru означает, что Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru , причем точка с координатами (x, y) лежит в 1-й четверти. Значит, Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru или Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru . Получим уравнение луча с началом в точке (0, 0).

3. Заданное уравнение Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru запишем в виде Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru . Получили Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru . Выделяем полный квадрат и приходим к уравнению Задания для самостоятельного решения. 1.1. Даны векторы - student2.ru , которое есть уравнение окружности с центром в точке (1, 0) и радиусом r = 1.

Наши рекомендации