Вопрос 1. Кривые второго порядка

К кривым второго порядка относятся: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Кривыми второго порядка называются линии, уравнение которых могут быть записаны в виде , где некоторые действительные числа, называемые коэффициентами уравнения, и, по крайней мере, один из коэффициентов или .

1) ОКРУЖНОСТЬЮ называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности.

а)Окружность с центром в начале координат.

По теореме Пифагора

б)Окружность с центром в произвольной точке A₁ (x₀, y₀).

По теореме Пифагора получим уравнение окружности с центром в произвольной точке:

2) ЭЛЛИПСОМ называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, причем большая, чем расстояние между фокусами.

Из определения эллипса следует:

– расстояние между точками.

Введем обозначения – большая ось эллипса;

– малая ось эллипса,

– расстояние между фокусами,

где .

Тогда получим координаты вершин и фокусов эллипса:

(‒a; 0) (a; 0)

(0; b) (0; ‒b)

(‒c; 0) (c; 0)

Подставив полученные координаты в формулу , и воспользовавшись формулой расстояния между точками , и выполнив необходимые преобразования, получим каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат:

Эксцентриситетом эллипса называется отношение половины расстояния до фокуса к половине большой оси, обозначается :

<1;

У эллипса 0< <1.

У окружности = 0, поэтому эксцентриситет .

3) ГИПЕРБОЛОЙ называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, причем меньшая, чем расстояние между фокусами.

Из определения следует

Введем обозначения – действительная ось гиперболы;

– мнимая ось гиперболы;

– расстояние между фокусами,

где .

Тогда получим координаты вершин и фокусов гиперболы:

(-a; 0) (a; 0)

(0; b) (0; -b)

(-c; 0) (c; 0)

Преобразовав формулу , получим (каноническое) уравнение гиперболы:

Эксцентриситет гиперболы: > 1.

Уравнения асимптот гиперболы (PL) и (NK):

.

4) ПАРАБОЛОЙ называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.

1. Пусть ‒ произвольная точка параболы.

Из определения следует, что расстояние

Обозначим расстояние – параметр параболы.

Тогда ось OYделит пополам, ,

Подставив в формулу координаты точек и, воспользовавшись формулой расстояния между двумя точками,

, получим:

Откуда получим уравнение параболы с вершиной в начале координат (ветви вправо):

Аналогично выводятся уравнения параболы в остальных трех случаях.

2.Уравнение параболы с вершиной в начале координат (ветви влево).

– фокус

– уравнение директрисы.

3.Уравнение параболы с вершиной в начале координат (ветви вверх).

– фокус

– уравнение директрисы.

4. Уравнение параболы с вершиной в начале координат (ветви вниз).

– фокус

– уравнение директрисы.

ЛЕКЦИЯ № 16