Кривые второго порядка

ГБОУ РХ СПО «Училище (техникум) олимпийского резерва»

Отделение физической культуры

Реферат

Тема: «Кривые второго порядка»

Выполнил:

Студент 282группа

Рец Владимир

Г. Абакан

Содержание

Введение

.Кривые второго порядка

Окружноь

Эллипс

Гипербола

Парабола

Теоремы, связанные с кривыми второго порядка

Ломаная линия

Сплайн Эрмита

Кубический сплайн

Параллельный перенос системы координат

Литература

Введение

Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур.

Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

Кривые второго порядка

Кривой 2-го порядка называется линия на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0

где a, b, c, d, e, f — вещественные коэффициенты, причем a2 + b2 + c2 ≠ 0 .

Вид кривой зависит от четырёх инвариантов:

инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:

Кривые второго порядка - student2.ru

Кривые второго порядка - student2.ru

Кривые второго порядка - student2.ru

инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):

Кривые второго порядка - student2.ru

Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой:

Кривые второго порядка - student2.ru

Так, например, невырожденная кривая Кривые второго порядка - student2.ru оказывается вещественным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли Кривые второго порядка - student2.ru положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:

Кривые второго порядка - student2.ru

Или

λ2 − Iλ + D = 0.

Корни этого уравнения являются собственными значениями вещественной симметричной матрицы и, как следствие этого, всегда вещественны:

Кривые второго порядка - student2.ru

Кривые второго порядка классифицируются на невырожденные кривые и вырожденные.

Доказано, что кривая 2–го порядка, определяемая этим уравнением принадлежит к одному из следующих типов: эллипс, гипербола, парабола, пара прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих), точка, пустое множество.

Иными словами, для каждой кривой 2-го порядка (для каждого уравнения) существует такая система координат, в которой уравнение кривой имеет вид:

Кривые второго порядка - student2.ru

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная. Отрезки, соединяющие точку эллипса с фокусами, называются фокальными радиусами точки.

Если эллипс описывается каноническим уравнением

Кривые второго порядка - student2.ru

где a > 0 , b > 0, a > b > 0 — большая и малая полуоси эллипса, то фокусы эллипса расположены симметрично на оси абсцисс и имеют координаты (−c, 0) и ( c, 0), где

Кривые второго порядка - student2.ru

Величина e = c/a называется эксцентриситетом эллипса.

Кривые второго порядка - student2.ru

По определению эллипса r1 + r2 = 2a, r1 и r2 − фокальные радиусы, их длины вычисляются по формулам

Кривые второго порядка - student2.ru

Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс является окружностью.

Окружность

ОпределениеОкружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

ТеоремаОкружность радиуса Кривые второго порядка - student2.ru с центром в точке Кривые второго порядка - student2.ru имеет уравнение

Кривые второго порядка - student2.ru (12.2)


Доказательство. Пусть Кривые второго порядка - student2.ru -- текущая точка окружности. По определению окружности расстояние Кривые второго порядка - student2.ru равно Кривые второго порядка - student2.ru (рис. 12.1)


Кривые второго порядка - student2.ru

Рис.12.1.Окружность


По формуле (10.4) для плоскости получаем, что точки окружности и только они удовлетворяют уравнению

Кривые второго порядка - student2.ru

Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение (12.2).

Если в уравнении (12.2) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду (12.2). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным Кривые второго порядка - student2.ru и Кривые второго порядка - student2.ru .

ПримерНарисуйте кривую Кривые второго порядка - student2.ru .

Решение. Выделив полные квадраты, получим

Кривые второго порядка - student2.ru

Если выделение полных квадратов вызывает затруднение, то более подробные объяснения можно получить здесь.

Итак, центр окружности -- Кривые второго порядка - student2.ru , радиус равен 2 (рис. 12.2).


Кривые второго порядка - student2.ru

Рис.12.2.Окружность, заданная уравнением Кривые второго порядка - student2.ru

Гипербола

Гиперболой называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением

Кривые второго порядка - student2.ru

где a > 0, b > 0 — параметры гиперболы.

Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат, в которой гипербола описывается каноническим уравнением, называется канонической.

В канонической системе оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат — ее центром симметрии.

Точки пересечения гиперболы с осью OX ( ± a, 0) называются вершинами гиперболы.

С осью OY гипербола не пересекается.

Отрезки a и b называются полуосями гиперболы.

Кривые второго порядка - student2.ru

Рис.1

Прямые ay − bx = 0 и ay + bx = 0 — асимптоты гиперболы, при удалении точки гиперблы в бесконечность, соответствующая ветвь гиперболы приближается к одной из асимптот.

Уравнение описывает гиперболу, вершины которой лежат на оси OY в точках (0, ± b).

Кривые второго порядка - student2.ru

Кривые второго порядка - student2.ru

Рис.2

Такая гипербола называется сопряженной к гиперболе её асимптоты — те прямые ay − bx = 0 и ay + bx = 0. Говорят о паре сопряжённых гипербол.

Кривые второго порядка - student2.ru

Парабола

Параболой называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением

y2 = 2 px

где p > 0 — параметр параболы.

Такое уравнение называется каноническим уравнением параболы, а система координат, в которой парабола описывается каноническим уравнением, называется канонической.

В канонической системе ось абсцисс является осью симметрии параболы, а начало координат — её вершиной.

Кривые второго порядка - student2.ru

Рис.3

Уравнения y2 = −2 px, x2 = 2 py, и x2 = −2 py, p > 0, в той же самой канонической системе координат также описывают параболы:

Кривые второго порядка - student2.ru

Наши рекомендации