Кривые второго порядка на плоскости

Уравнение вида Ах2+2Вху+Су2+2Dх+2Еу+F=0 называется общим уравнением кривой второго порядка. Коэффициенты уравнения – действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А,В,С отлично от нуля. Такое уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

В табл. 2 приведены уравнения кривых второго порядка и определен смысл входящих в них коэффициентов.

Таблица 2

№ п/п Определение кривой Вид уравнения Примечание
Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.4)   Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru - каноническое уравнение эллипса 2а – большая ось; 2b – малая ось 2с–межфокус-ное расстояние с22-b2; Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru - эксцентриси-тет, 0<e<1. Т. А1212 – вершины эллипса
Гипербола – множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.5) Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru - каноническое уравнение гиперболы 2а–действи-тельная ось; 2b–мнимая ось; 2с –меж-фокусное расстояние с22+b2; Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru - эксцентри-ситет, e>1. Точки А12 – вершины гиперболы. Прямые Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru - асимптоты
3. Парабола - множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директриссой.
Рис.6б 6б 31
Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru
х
F
х2=2py

у2=2px – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ     x2=2pу – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОY (рис.6б) F Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru - фокус, Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6а)   F Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru - фокус, Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6б)

1. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 36х2+100у2=3600.

Решение:

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:

36х2+100у2=3600, поделим обе части уравнения на 3600:

Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru , a2=100, b2=36.

Fл(-с,0) – левый фокус;

Fп(с,0) – правый фокус;

С= Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru .

Fл(-8,0); Fп(8,0).

Эксцентриситет: Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru .

Ответ: Fл(-8,0); Fп(8,0); Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru =0,8.

2.Написать уравнение прямой, проходящей через левую вершину эллипса 16х2+25у2=400 и точку М0(1;-3) (рис.7).

у
Решение:

-4
-5
М
х
М0

Рис. 7

Приведем уравнение 16х2+25у2=400 к каноническому виду.

Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru , a2=25, b2=16.

Левая вершина эллипса (-а,0)Þ(-5,0). Обозначим М(-5,0). Составим уравнение прямой, проходящей через точки М0 и М:

Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru .

Ответ: Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru .

3. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус гиперболы 9х2-16у2=144 и параллельно прямой 3х-2у+6=0 (рис.8).

Решение:

-3
-4
FП
Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru
х
у
Рис.8

Приведем уравнение 9х2-16у2=144 к каноническому виду Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru , a2=16, b2=9.

Правый фокус гиперболы Fп(с,0);

С= Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru .

Итак, Fп(5,0).

1-й способ.

Условие параллельности двух прямых: k1=k2.

Пусть уравнение искомой прямой имеет вид y=k2x+b2;

3х-2у+6=0;

2у=3х+6;

у=(3/2)х+3;

k1=3/2Þk2=3/2.

Значит, y=(3/2)x+b2 проходит через точку Fп(5,0), то 0=(3/2)5+b2Þb2=-15/2. Итак, Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru Û3x-2у-15=0.

2-й способ.

Искомая прямая проходит через точку Fл(5,0) параллельно прямой 3х-2у+6=0. Из общего уравнения заданной прямой определяем вектор нормали Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru , который будет являться нормалью и для параллельной ей искомой прямой. Пользуемся уравнениемА(х-х0)+В(у-у0)=0, 3(х-5)-2(у-0)=0, 3х-2у-15=0.

Ответ: 3х-2у-15=0.

4. Написать уравнение прямой l, проходящей через нижнюю вершину эллипса 4х2+20у2=80, перпендикулярно прямой 2х-у+1=0 (рис.9).

М
Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru
-2
y
Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru
l
х
Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru

Рис. 9

Решение:

Приведем уравнение к каноническому виду 4х2+20у2=80,

Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru , a2=20, b2=4.

Нижняя вершина имеет вид: М(0;-b)=М(0;-2).

1-й способ.

Условие перпендикулярности двух прямых: k1k3=-1.

2х-у+1=0

у=2х+1Þk1=2.

Пусть уравнение прямой имеет вид: y=k2x+b2;

k2=-1: k1Þk2=-1/2, Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru

Так как прямая Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru проходит через точку М(0;-2), то Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru .

Итак, Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru Þх+2у+4=0.

2-й способ.

По условию задачи требуется написать уравнение прямой l, проходящей через точку М(0;-2) перпендикулярно прямой 2х-у+1=0. Из общего уравнения прямой определяем координаты вектора нормали Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru . Несложно представить (рис.9), что если искомая прямая l перпендикулярна заданной, то вектор Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru параллелен искомой прямой, т.е. является ее направляющим вектором. Используя уравнение прямой, проходящей через точку М000) параллельно вектору Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru , получим:

Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru . У нас Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru ; Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru ;

-х=2у+4, х+2у+4=0.

Ответ: х+2у+4=0.

5. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус эллипса Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru под углом 45˚ к оси Ох.

Решение:

a2=16, b2=25.

Правый фокус эллипса имеет вид Fп(с,0);

С= Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru .

Итак, Fп(3,0).

Так как прямая проходит под углом 45˚ к оси Ох, то k=tgα=tg45˚=1.

Пусть уравнение искомой прямой имеет вид: y=kx+b;

k=1Þy=x+b.

Так как прямая проходит через точку Fп(3,0), то 0=3+bÞb=-3.

Значит, y=x-3.

Ответ: y=x-3.

Плоскость в пространстве

Любое уравнение первой степени в трехмерном пространстве определяет какую-либо плоскость.

Разным способам задания плоскости соответствуют различные виды уравнений (табл. 3.)

Таблица 3

№ п/п Вид уравнения Смысл входящих в уравнение коэффициентов Примечание
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0 (x0,y0,z0) – координаты заданной точки; АВС – координаты заданного вектора Вектор N(А,В,С) называется нормальным вектором плоскости
Общее уравнение плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 D=-Ax0-By0-Cz0, АВС – нормальный вектор плоскости; Это уравнение получается из уравнения (1) эле-ментарными
№ п/п Вид уравнения Смысл входящих в уравнение коэффициентов Примечание
    х0,y0,z0 – координаты данной точки преобразованиями
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru М11,y1,z1), М22,y2,z2), М33,y3,z3) – три точки, заданные своими координатами Точки М1, М2, М3 не должны лежать на одной прямой
Уравнение плоскости в отрезках на осях Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru а,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координат аbc≠0

Пусть даны две плоскости a1 и a2:

a1: А1х +В1у+С1z+D1=0,

a2: А2х +В2у+С2z+D2=0.

Угол между двумя плоскостями определяется как Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru .

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru =0, то есть Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru =0.

Условие параллельности двух плоскостей:

Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru или Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru .

Расстояние от точки до плоскости:

Кривые второго порядка на плоскости - student2.ru ,

где Ах+Ву+Сz+D=0 – заданная плоскость; М(x0,y0,z0) – данная точка.

Наши рекомендации