Кривые второго порядка

Канонические уравнения:

эллипса ,

гиперболы ,

параболы ;

Эксцентриситеты

эллипса ,

гиперболы

параболы ,

где rи d- расстояния любой точки параболы до фокуса и директрисы соответственно. Уравнение директрисы параболы ; .

Построение кривойв полярной системе координат

Полярная система координат задается точкойО(полюсом), выходящим из нее лучом и единицей масштаба. Полярные координаты точки М - два числа ρ и φ, первое из которых ρ (полярный радиус) равно расстоянию точки М от полюсаО, а второе φ (полярный угол) - угол, на который нужно повернуть полярный луч против часовой стрелки до совмещения с лучом ОМ.

Номер точки
j
r	-0,1	0,5		-3,5	4,1	4,6

Обычно считают, что ρ и φ изменяются в пределах

,

чтобы соответствие между точками плоскости и полярными координатами было однозначным.

Замечание. В задачах, связанных с перемещением точки по плоскости (в механике), удобнее отказаться от этих ограничений, когда естественно считать, что при вращении точки угол может быть и больше 2π, а при движении точки по прямой, проходящей через полюс, считать, что при переходе через полюс полярный радиус точки меняет знак на отрицательный.

Пример 6.2.7. Построить график функции ρ = 2 + 3cos φ.

Построение выполняем поточечное. Выяснив область определения функции( ), задаемся для начала значениями φ в интервале [0,2π] и вычисляем соответствующие значения ρ:

Номер точки
j									π
r		4,6	4,1	3,5		0,5	-0,1	-0,5	-1	-0,5

Выполним построение с помощью транспортира.

Улитка Паскаля

При значениях полученные точки повторяются.

Замечание 1. Если форма кривой неясна, берем промежуточные точки.

Замечание 2. Наиболее часто встречающиеся кривые и их название приведены в справочнике [3] .

Поверхности II порядка. Канонические уравнения

		Название поверхности	Каноническое уравнение
	эллипсоид	(рис.1)
	гиперболоиды	однополостный гиперболоид	(рис.2)
	двуполостный гиперболоид	(рис.4)
	конус	(рис.5)
	пароболоиды	эллиптический параболоид	(рис.3)
	гиперболический параболоид	(рис.6)
	цилиндры	эллиптический цилиндр
	гиперболический цилиндр
	параболический цилиндр
		пара плоскостей	левая часть уравнения распадается на произведение двух линейных множителей

Рисунок 6.2.2

Рисунок 6.2.1.

Рисунок 6.2.3.

Рисунок 6.2.4.

Рисунок 6.2.6.

Рисунок 6.2.5.

Введение в математический анализ

Пределы функций

При вычислении предела элементарной функции f(x) приходится сталкиваться с двумя существенно различными типами примеров.

1 Функция f(x) определена в предельной точке x=a. Тогда

. (6.3.1)

2 Функция f(x) в предельной точке х=а не определена или же вычисляется предел функции при . Тогда вычисление предела требует в каждом случае индивидуального подхода. В одних случаях (наиболее простых) вопрос сводится непосредственно к применению теорем о свойствах бесконечно больших и бесконечно малых функций и связи между ними. Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда функция f(x) в точке х=а или при представляет собой неопределенность

.

Приведем основные теоремы, на которых основано вычисление пределов.

1 Если существуют и , то

а) ;

б) ;

Частные случаи:

в) .

2 Если в некоторой окрестности точки х=а (кроме, быть может, точки а) выполнено условие f(x)=q(x) и если предел одной из этих функций в точке а существует, то

.

3 Если существует U(х) и f(х) – элементарная функция, то

.

Например : ,

.

4 Первый замечательный предел: . (6.3.2)

5 Второй замечательный предел: . (6.3.3)

Также при вычислении пределов следует знать ряд эквивалентных бесконечно малых функций:

при

Примеры 6.3.1.

Вычислите пределы:

1) .

Функция f(x) в предельной точке х=2 не определена; так как числитель и знаменатель дроби обращается в нуль, то имеем неопределенность вида 0/0.

Преобразуем дробь, и по формуле (1) получим

.

2) .

В этом случае также получается неопределенность вида 0/0. Преобразование функции сводится к уничтожению иррациональности в числителе: для этого умножим числитель и знаменатель на выражение и затем сократим дробь на . Отсюда

.

3) .

Здесь имеет место неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на (наивысшую степень х в данной дроби). Тогда

.

4) .

Здесь получается неопределенность вида . Представим функцию в виде дроби, которая в точке х=0 дает неопределенность вида 0/0, после чего преобразуем её так, чтобы можно было воспользоваться первым замечательным пределом:

5)

Функция при x-> представляет собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель – к бесконечности, неопределенность вида .

Преобразуем функцию таким образом, чтобы использовать второй замечательный предел:

= = = = = =

= = =

6) .

Используя второй замечательный предел, находим

= = =