Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов

Пусть в -мерном арифметическом пространстве имеется совокупность векторов .

Определение 2.1.Совокупность векторов называется линейно независимой системой векторов, если равенство вида

(2.1)

выполняется только при нулевых значениях числовых параметров .

Если равенство (2.1) может быть выполнено при условии, что хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то такая система векторов будет называться линейно зависимой.

Пример 2.1. Проверить линейную независимость векторов

Решение. Составим равенство вида (2.1)

.

Левая часть данного выражения может обращаться в нуль только при выполнении условия , которое означает, что система является линейно-независимой.

Пример 2.1.Будут ли векторы линейно независимыми?

Решение. Нетрудно проверить, что равенство верно при значениях , . Значит, данная система векторов линейно зависима.

Теорема 2.1. Если система векторов является линейно зависимой, то любой вектор из этой системы может быть представлен в виде линейной комбинации (или суперпозиции) остальных векторов системы.

Доказательство. Предположим, что система векторов линейно зависима. Тогда в силу определения существует набор чисел , среди которых хотя бы одно число отлично от нуля, и при этом справедливо равенство (2.1):

.

Без потери общности предположим, что ненулевым коэффициентом является , то есть . Тогда последнее равенство можно разделить на и далее выразить вектор :

.

Таким образом, вектор представлен в виде суперпозиции векторов . Теорема 1 доказана.

Следствие. Если – совокупность линейно независимых векторов, то ни один вектор из этого набора не может быть выражен через остальные.

Теорема 2.2. Если система векторов содержит ноль-вектор, то такая система обязательно будет линейно зависимой.

Доказательство. Пусть вектор является ноль-вектором, то есть .

Тогда выбираем постоянные ( ) следующим образом:

, .

При этом равенство (2.1) выполняется. Первое слагаемое слева равно нулю вследствие того, что – ноль-вектор. Остальные слагаемые обращаются в нуль, будучи умноженными на нулевые константы ( ). Таким образом,

при , а значит, векторы линейно зависимые. Теорема 2.2 доказана.

Следующий вопрос, на который нам предстоит ответить, какое наибольшее количество векторов может составить линейно независимую систему в n-мерном арифметическом пространстве. В пункте 2.1 был рассмотрен естественный базис (1.4):

Было установлено, что произвольный вектор -мерного пространства является линейной комбинацией векторов естественного базиса, то есть произвольный вектор выражается в естественном базисе в виде

, (2.2)

где – координаты вектора , представляющие собой некоторые числа. Тогда равенство

возможно лишь при , а значит, векторов естественного базиса образуют линейно независимую систему. Если добавить к этой системе произвольный вектор , то на основании следствия теоремы 1 система будет зависимой, поскольку вектор выражается через векторы по формуле (2.2).

Этот пример показывает, что в n-мерном арифметическом пространстве существуют системы, состоящие из линейно независимых векторов. А если к этой системе добавить хотя бы один вектор, то получим систему линейно зависимых векторов. Докажем, что если число векторов превышает размерность пространства, то они линейно зависимые.

Теорема 2.3.В -мерном арифметическом пространстве не существует системы, состоящей более чем из линейно независимых векторов.

Доказательство[2]. Рассмотрим произвольных -мерных векторов:

(2.3)

………………………

Пусть . Составим линейную комбинацию векторов (2.3) и приравняем её к нулю:

. (2.4)

Векторное равенство (2.4) равносильно скалярным равенствам для координат векторов :

(2.5)

Эти равенства образуют систему однородных уравнений с неизвестными . Так как число неизвестных больше числа уравнений ( ), то в силу следствия теоремы 9.3 раздела 1 однородная система (2.5) имеет ненулевое решение. Следовательно, равенство (2.4) справедливо при некоторых значениях , среди которых не все равны нулю, а значит, система векторов (2.3) линейно зависимая. Теорема 2.3 доказана.

Следствие. В -мерном пространстве существуют системы, состоящие из линейно независимых векторов, а любая система, содержащая больше чем векторов, будет линейно зависимой.

Определение 2.2.Систему линейно независимых векторов называют базисом пространства, если любой вектор пространства может быть выражен в виде линейной комбинации этих линейно независимых векторов.

2.3. Линейное преобразование векторов

Рассмотрим два вектора и -мерного арифметического пространства .

Определение 3.1.Если каждому вектору сопоставлен вектор из этого же пространства , то говорят, что задано некоторое преобразование -мерного арифметического пространства.

Будем обозначать это преобразование через . Вектор будем называть образом . Можно записать равенсто

. (3.1)

Определение 3.2.Преобразование (3.1) будем называть линейным, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

, (3.2)

, (3.3)

где - произвольный скаляр (число).

Зададим преобразование (3.1) в координатной форме. Пусть координаты векторов и связаны зависимостью

(3.4)

Формулы (3.4) задают преобразование (3.1) в координатной форме. Коэффициенты ( ) системы равенств (3.4) можно представить в виде матрицы

называемой матрицей преобразования (3.1).

Введём векторы-столбцы

,

элементы которых суть координаты векторов и соответственно, так что и . Будем далее векторы-столбцы и называть векторами.

Тогда преобразование (3.4) может быть записано в матричной форме

. (3.5)

Преобразование (3.5) является линейным в силу свойств арифметических операций над матрицами [7].

Рассмотрим некоторое преобразование , образом которого является ноль-вектор. В матричном виде это преобразование будет иметь вид

, (3.6)

а в координатной форме – представлять собой систему линейных однородных уравнений

(3.7)

Определение 3.3.Линейное преобразование называется невырожденным, если определитель матрицы линейного преобразования не равен нулю, то есть . Если определитель обращается в нуль, то преобразование будет вырожденным .

Известно, что система (3.7) имеет тривиальное (очевидное) решение – нулевое. Это решение является единственным, если только определитель матрицы не равен нулю.

Ненулевые решения системы (3.7) могут появляться, если линейное преобразование является вырожденным, то есть при нулевом определителе матрицы .

Определение 3.4. Рангом преобразования (3.5) называется ранг матрицы преобразования .

Можно сказать, что этому же числу равно количество линейно-независимых строк матрицы .

Обратимся к геометрической интерпретации линейного преобразования (3.5).

Пример 3.1. Пусть задана матрица линейного преобразования , где Возьмем произвольный вектор , где и найдем его образ: Тогда вектор .

Если , то вектор изменит и длину и направление. На рис.1 .

Если , то получим образ

,

то есть вектор или , а это значит, что изменит только длину, но не изменит направление (рис. 2).

Пример 3.2. Пусть , . Найдём образ:

,

то есть , или .

Вектор в результате преобразования изменил своё направление на противоположное, при этом длина вектора сохранилась (рис. 3).

Пример 3.3. Рассмотрим матрицу линейного преобразования. Несложно показать, что в этом случае образ вектора полностью совпадает с самим вектором (рис. 4). Действительно,

.

Можно сказать, что линейное преобразование векторов изменяет исходный вектор и по длине, и по направлению. Однако в некоторых случаях существуют такие матрицы, которые преобразуют вектор только по направлению (пример 3.2) или только по длине (пример 3.1, случай ).

Следует заметить, что все векторы, лежащие на одной прямой, образуют систему линейно зависимых векторов.

Вернёмся к линейному преобразованию (3.5)

и рассмотрим совокупность векторов , для которых образом является нуль-вектор, так что .

Определение 3.5. Совокупность векторов , являющихся решением уравнения , образует подпространство -мерного арифметического пространства и называется ядром линейного преобразования.

Определение 3.6. Дефектом линейного преобразования называется размерность ядра этого преобразования, то есть, наибольшее число линейно-независимых векторов , удовлетворяющих уравнению .

Так как рангом линейного преобразования мы называем ранг матрицы , то можно сформулировать следующее утверждение относительно дефекта матрицы: дефект равен разности , где – размерность матрицы, – её ранг.

Если ранг матрицы линейного преобразования (3.5) ищется методом Гаусса, то ранг совпадает с количеством отличных от нуля элементов на главной диагонали уже преобразованной матрицы, а дефект определяется количеством нулевых строк.

Если линейное преобразование является невырожденным, то есть , то его дефект обращается в ноль, поскольку ядром является единственный нулевой вектор.

Если линейное преобразование вырожденное и , то система (3.6) кроме нулевого решения имеет другие, и дефект в этом случае уже отличен от нуля.

Особый интерес вызывают преобразования, которые, меняя длину, не меняют направление вектора. Точнее говоря, оставляют вектор на прямой, содержащей исходный вектор, при условии, что прямая проходит через начало координат. Такие преобразования будут рассмотрены в следующем пункте 2.4.