Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов

Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru

Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru

Свойства линейной зависимости и линейной независимости векторов.

1.Если система векторов линейно независима, то и любая её часть также линейно независима

2. Если часть системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима

3. Система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны (Векторы и называются коллинеарными, если , где (один из них линейно выражается через другой)

38. Доказать, что любая совокупность n+1 векторов n-мерного пространства линейно зависимая

Любые n+1 элементы Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru этого пространства линейно зависимы. Разложив эти элементы по базису, получим:

Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru

где a11, a12,..., an+1,n вещественные числа.

Пусть элементы Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru линейно независимы. Перепишем (3.4) в матричном виде:

Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru

Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru (3.6)

где Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru , Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru n×n-матрицы(элементы Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru здесь являются вектор-строками),

Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru

Так как Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru линейно независимы, матрица A имеет обратную матрицу A-1. Решив матричное уравнение (3.5) относительно Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru получим :

Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru

Подставляя (3.8) в (3.6), получим:

Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru (3.9)

Как видно из уравнения (3.9) Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru можно представить линейной комбинацией векторов .

Следовательно векторы Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru линейно зависимы. ■

40. Понятие базиса n - мерного векторного пространства R(n). Разложение вектора по векторам базиса

Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru

43. Метод Жордана–Гаусса решения систем линейных уравнений

Система Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru линейных уравнений с Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru неизвестными Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru называется системой с базисом, если в каждом уравнении этой системы есть неизвестная, коэффициент при которой равен единице, а в остальных уравнениях коэффициенты при этой неизвестной равен нулю.

Примером системы линейных уравнений с базисом является система вида

Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru

В этой системе неизвестные Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru − базисные, а неизвестные Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru − свободные.

Рассмотрим систему Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru линейных уравнений с Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru неизвестными, у которой выделены Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru -й столбец и Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru –я строка ( Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru , Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru – фиксированные натуральные числа, Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru ):

Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru (3.1)

Пусть среди всех миноров Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru -го порядка, составленных из элементов основной матрицы системы (3.1), имеется хотя бы один отличный от нуля. Это требование обеспечит наличие у системы базиса, состоящего из Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru неизвестных Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru , Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru , …, Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru .

Рассмотрим алгоритмприведения системы (3.1) к системе с базисом:

1) по системе (3.1) заполним табл. 3.1;

2) в столбце Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru выберем отличное от нуля число и назовём его разрешающим элементом. Пусть Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru − разрешающий элемент;

3) переходим к построению табл. 3.2, в которой вместо неизвестного базисного элемента Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru следует записать неизвестную Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru а все элементы Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru -й строки табл. 3.1 разделить на разрешающий элемент Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru (при этом на месте разрешающего элемента в новой таблице появится 1). Вместо других элементов столбца Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru запишем нули, а числа оставшихся незаполненными ячеек пересчитаем по правилу прямоугольника, формулы которого имеют вид:

Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru

где Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru

Таблица 3.1

Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов - student2.ru

Правило прямоугольников схематично показано с помощью стрелок. Табл. 3.2 имеет вид:

Таблица 3.2

Наши рекомендации