Линейная зависимость и независимость векторов

Множество, включающее m ненулевых векторов Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru из n-мерного векторного пространства, состоит из линейно независимых векторов тогда и только тогда, когда Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru лишь при li = 0 ( i = 1, 2, ..., m) для Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Система векторов Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru называется линейно зависимой, если существуют скаляры li , не все равны нулю, такие, что Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

1.4.Базис n-мерного векторного пространства

Базисом (максимальной линейно независимой системой векторов) n-мерного пространства называется линейно независимое множество векторов Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru через которые посредством линейных комбинаций может быть выражен любой вектор этого пространства.

Пример. Вектор Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru может быть разложен единственным образом по векторам Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , которые образуют базис пространства Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

ТЕМА 2. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Матрицей размера m х nназывается прямоугольная таблица чисел, имеющая m строк и n столбцов:

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Числа aij - называются матричными элементами матрицы A.

Примечание. Матрицу Аmxn можно представить в виде совокупности m вектор-строк или n вектор-столбцов, т.е.

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов, называется квадратной.

Квадратная матрица, имеющая единицу по главной диагонали и нули на всех остальных местах, является единичной и обозначается Е, т.е.

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru

2.1. Действия с матрицами

Транспонирование матриц

Транспонированием матриц называется такое преобразование исходной матрицы, когда столбцы преобразуются в строки и наоборот - строки в столбцы: Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , где Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru

Пример

Транспонируя матрицу Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , получим Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Сложение

Суммой двух матриц является третья матрица той же размерности, каждый элемент которой представляет сумму двух соответствующих элементов слагаемых матриц: Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru ; Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Пример. Складывая матрицы

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru и Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru получим Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Умножение матрицы на скаляр

Произведением матрицы на скаляр l является матрица

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Каждый элемент матрицы А умножен на скаляр l.

Умножение матриц

Произведением матрицы Аmxn на матрицу Bnxr называется новая матрица Сmxr , каждый элемент которой представляет скалярное произведение соответствующей вектор-строки левой матрицы на вектор-столбец правого множителя:

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru ,

где Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Пример

Рассмотрим произведение А2x4 × B4x3 = C2x3 или

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru ,

где C11 = 14 представляет скалярное произведение вектор-строки ( 2; 3; 1; 0) на вектор-столбец ( 4; 2; 0; 1), т.е. Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru и т.д.

Правило. Перемножать можно матрицы только в том случае, когда количество столбцов первой (левой) матрицы равно количеству строк второй (правой) матрицы.

Cвойства операции умножения матрицы.

а) A(B+C)=AB+AC

b) (A+B)C=AC+BC

c) C(AB)=(CA)B

d) Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Определителем 2-го порядка называется число, получаемое из элементов матрицы 2-го порядка, представленных в виде квадратной таблицы. Он равен разнице произведений чисел, расположенных по главной и побочной диагоналям:

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru ,

где Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru - элементы определителя;

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru - главная диагональ;

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru - побочная диагональ.

Определителем 3-го порядка называется число, которое можно найти по следующей формуле

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru

Определитель третьего порядка, также можно найти по теореме Лапласа:

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru

- это разложение по i-й строке. Чтобы вычислить алгебраическое дополнение Аi1 элемента аi1, вычеркнем мысленно из матрицы, например, вторую ( i = 2) строку и первый столбец, на пересечении которых стоит Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru . Оставшемуся определителю второго порядка припишем знак (-1)2+1 :

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru

Следующий элемент во второй строке Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru а алгебраическое дополнение элемента Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru будет Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Обратная матрица

Пусть А - квадратная матрица. Матрица B называется обратной для матрицы А, если произведение этих матриц равно единичной матрице, т.е. АB = BA=E.

Если определитель квадратной матрицы не равен нулю, то эта матрица имеет обратную и притом единственную.

Правило.Для вычисления обратной матрицы необходимо осуществить следующие операции:

1. Вычислить определитель Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru исходной матрицы; если он не равен нулю, то обратная матрица существует.

2. Вычислить алгебраические дополнения элементов исходной матрицы: А11, А12,..., Аn1,... Аnn .

3. Составить из алгебраических дополнений матрицу Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru

4. Транспонируя полученную матрицу, получить присоединенную Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

5. Разделив присоединенную матрицу на определитель, получить обратную матрицу Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru ,

6. Сделать проверку Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ruЛинейная зависимость и независимость векторов - student2.ru =E Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru

Пример. Вычислить обратную матрицу для Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Проводим расчеты по пунктам, описанным выше:

1.

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru

2.

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru ,

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru ,

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru , Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

3.

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

4.

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

5.

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru =- Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru

Линейная зависимость и независимость векторов - student2.ru .

Наши рекомендации