Линейная зависимость и независимость векторов.

Рассмотрим векторы х12,…,хn линейного пространства V. Вектор у=a1х1+ a2х2 + …+anхn, где a1,a2,…, an ÎR, называется линейной комбинацией векторовх12,…,хn, а числа a1,a2,…, an ─ коэффициентами этой линейной комбинацией.Система векторов х12,…,хn называется линейно независимой,если равенство

a1х1 + a2х2 + …+ anхn = 0 (1)

выполняется только при a1 = a2 = … = an = 0. Если же существуют числа a1,a2,…, an не все равные нулю, при которых выполняется равенство (1), то векторы х12,…,хn называются линейно зависимыми.

Из определения нетрудно получить следующие свойства:

1) Всякая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

2) Система из одного нулевого вектора линейно независима.

3) Если k из n векторов линейно зависимы, то и вся система из n векторов линейно зависима.

4) Если из системы х12,…,хn линейно независимых векторов отбросить Ã векторов (Ã<n), то оставшиеся векторы также будут линейно независимы.

5) Если в системе векторов имеются векторы хi и хj такие, что хi = axj для aÎR, то вся система векторов линейно зависима.

В частности, из свойства 5 следует, что в линейном пространстве R3 любая система векторов, содержащая коллинеарные векторы, будет линейно зависимой.

Теорема 1.Векторы х12,…,хn действительного линейного пространства линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией всех остальных.

Доказательство. Пусть векторы х12,…,хn линейно зависимы. Тогда существуют числа a1,a2,…, an не все равные нулю такие, что

a1х1 + a2х2 + …+ anхn = 0 (2)

Пусть, например, ak ¹ 0. Тогда akxk = - a1x1 - … - ak-1xk-1 - ak+1xk+1 - … - anxn и

xk = - Линейная зависимость и независимость векторов. - student2.ru x1 - … - Линейная зависимость и независимость векторов. - student2.ru xk-1 - Линейная зависимость и независимость векторов. - student2.ru xk+1 - … - Линейная зависимость и независимость векторов. - student2.ru xn,

т.е. хk ─ линейная комбинация всех остальных векторов.

Пусть теперь один их векторов, например х1, является линейной комбинацией остальных векторов, т.е. х1 = a2х2 + a3х3 + …+ anхn. Тогда (-1)х1 + a2х2 + …+ anхn = 0. Это означает, что векторы х12,…,хn линейно зависимы.

Размерность и базис линейного пространства.

Определение.Число n называется размерностью линейного пространства V,если выполняются следующие условия:

1) в V существует n линейно независимых векторов;

2) любая система n + 1 векторов из V линейно зависима.

Размерность линейного пространства V обозначают dimV = n, то V называют n-мерным линейным пространством. Если пространство состоит из одного нулевого элемента, то его размерность считают равной нулю. Итак, размерность линейного пространства ─ это наибольшее возможное количество линейно независимых элементов в нём.

Базисомn-мерного линейного пространства V называется любая упорядоченная система n линейно независимых векторов этого пространства.

Примеры базисов линейных пространств.

1) Базисом действительного пространства R3 является любая тройка некомпланарных векторов. Базис действительного линейного пространства R2 ─ любые два неколлинеарных вектора.

2) Базисом n-мерного арифметического пространства Rn является, например, система векторов

е1 = (1,0,…,0), е2 = (0,1,0,…,0), … , еn = (0,…,0,1).

Математический анализ─ раздел математики, в котором изучаются функции. Основу математического анализа составляет дифференциальное и интегральное исчисление, теория рядов. Заслуга открытия дифференциального исчисления принадлежит английскому математику и физику Исааку Ньютону (1643 – 1727) и Готфриду Вильгельму Лейбницу (1646 – 1716), немецкому математику и философу.

Понятие функции.

Понятие функции ─ одно из основных понятий современной математики.

Рассмотрим множество X элементов х и множество Y элементов y. Если каждому элементу хÎΧ поставлен в соответствие единственный элемент уÎΥ, обозначаемый

у = f(x), то говорят, что на множестве Х задана функция у = f(x) со значениями в множестве Y.Элементы хÎΧ называются значениями аргумента, а элементы уÎΥ ─ значениями функции. Множество Х называется областью определения функции,множество всех значений функции ─ областью значений этой функции.

Употребляются следующие обозначения функции: у = f(x), y = F(x), y = Ф(х), у = φ(х) и т.п. Значение, которое функция у = f(x) принимает при х = а, обозначается f(a).

К традиционным основным способам задания функции относятся: аналитический, графический и табличный.

Аналитический способ задания функции ─ это задание функции с помощью формул. Например, у = 2х, у = lgx, у = Линейная зависимость и независимость векторов. - student2.ru Линейная зависимость и независимость векторов. - student2.ru

Функция заданная формулой у = f(x), правая часть которой не содержит у, называется явной функцией.

Рассмотрим уравнение F(x;y)=0. Предположим, что существует непустое множество Х значений х таких, что при каждом х0ÎΧ уравнение F(x0;y) = 0 имеет действительные решения относительно у. обозначим одно из них через у0. Сопоставляя таким образом каждому х0ÎΧ элемент у0, получим функцию у = у(х), определённую на множестве Х и такую, что F(x;y(x)) º 0 для всех хÎΧ. Функция у = у(ч), определённая таким образом, называется функцией, заданной неявноили неявной функцией.

Например, уравнение 3х + 2у – 5 = 0 неявно задаёт функцию у = − Линейная зависимость и независимость векторов. - student2.ru х + Линейная зависимость и независимость векторов. - student2.ru . Уравнение х2 + у2 = R2 задаёт неявно две функции у = Линейная зависимость и независимость векторов. - student2.ru и у = − Линейная зависимость и независимость векторов. - student2.ru .

Табличный способ задания функции─ это способ задания функции при помощи таблицы. Примерами такого задания функции являются таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.д.

Графический способ задания функции─ это способ задания функции при помощи графика. Графиком функцииу = f(x) называется множество точек (x;f(x)) плоскости хОу, где х принадлежит области определения функции. Преимуществом графического способа задания функции является его наглядность.

Если у = f(u), u = φ(х) ─ функции своих аргументов, причём область определения функции у = f(u) содержит область значений функции u = φ(х) , то каждому х из области определения функции φ соответствует такое у, что у = f(u), где u = φ(х). Эта функция, определяемая соответствием

y = f(φ(x))

называется сложной функциейили композицией функцииφ и f. Например, если у = u2, u = sinx, то у = sin2x ─ сложная функция.

Кроме тригонометрических и обратных тригонометрических функций в средней школе изучаются функции: степенная у = ха (а = const), показательная у = ах (а = const), логарифмическая у = logax (a = const). Все эти функции называются основными элементарными функциями. Элементарными функцияминазываются функции, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью алгебраических действий и образования сложных функций. Например, функции у = lgsinx, y = x2 + cosx, y = 3lgcosx + sinx является элементарными.

Наши рекомендации