Потенциальное силовое поле

3.3.5.1. Потенциальное силовое поле и силовая функция

Рис. 3.27

Силовое поле – это часть пространства, в каждой точке которого на материальную точку действует сила, зависящая от координат точки и времени (рис. 3.27)

Силовое поле называют стационарным, если силы не зависят явно от времени Если силы зависят от времени явно то поле – нестационарное.

Силовое поле называют потенциальным если имеется силовая функция частные производные которой по координатам равны проекциям силы на соответствующие координатные оси:

Рассмотрим основные свойства силовой функции стационарного поля.

1. Из определения следует, что силовая функция определена с точностью до постоянной

2. Элементарная работа силы в потенциальном силовом поле равна полному дифференциалу от силовой функции. Это свойство силовой функции можно принять за ее определение. Элементарная работа:

т.е.

3. Полная работа силы на каком–либо перемещении точки равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках перемещения и не зависит от формы траектории, по которой совершается это перемещение, если силовая функция является однозначной (рис. 3.28). Полная работа силы на перемещении M₀M:

т.е.

Рис. 3.28

4. Из предыдущего свойства следует, что работа силы в потенциальном силовом поле по любому замкнутому контуру равна нулю, так как значения силовой функции в начальной и конечной точках перемещения одинаковы:

5. Силу можно выразить как градиент силовой функции U. По определению:

Учитывая, что:

получим

т.е.

Определены условия, которые позволяют по силам силового поля установить, будет ли силовое поле потенциальным. Эти условия имеют вид:

Силы, действующие на материальную точку в потенциальном поле, называются потенциальными. К ним относят: силы тяжести, линейную силу упругости, силу тяготения.

Для механической системы в потенциальном силовом поле силовая функция является функцией координат всех точек системы

Проекция силы, действующей на каждую точку системы, будет равна

Если вычислить сумму работ, которую совершают силы поля, действующие на механическую систему при перемещении из положения (M₀), в котором силовая функция равна U₀, в положение (М), в котором силовая функция равна U, то получим

3.3.5.2. Потенциальная энергия

Рис. 3.29

В случае потенциального силового поля вводят функцию, характеризующую запас энергии в данной точке поля – потенциальную энергию материальной точки в рассматриваемой точке силового поля.

Потенциальной энергией П материальной точки в рассматриваемой точке потенциального силового поля М (рис. 3.29) называют работу, которую совершают силы поля, действующие на материальную точку при перемещении ее из точки М в начальную точку M₀:

или где C=const.

Потенциальная энергия определена с точностью до постоянной

Проекции силы на координатные оси имеют вид:

Элементарная и полная работа силы в потенциальном силовом поле:

Потенциальной энергией системы P в рассматриваемом положении (М) потенциального силового поля называют сумму работ сил поля, действующих на систему, которую эти силы совершают при перемещении системы из рассматриваемого положения в начальное положение (M₀):

где U – значение силовой функции в положении (М); U₀ – значение силовой функции в начальном положении (M₀).

Проекции силы, действующей на каждую точку системы, на координатные оси имеют вид:

Элементарная и полная работа сил поля:

3.3.5.3. Закон сохранения механической энергии

Закон сохранения механической энергии точки. Для материальной точки, согласно теореме об изменении кинетической энергии, справедливо уравнение

Если точка движется в стационарном потенциальном силовом поле, то

Следовательно,

или

Обозначая через Е полную механическую энергию точки, получаем

Закон сохранения механической энергии для точки. При движении точки в стационарном потенциальном силовом поле ее полная механическая энергия остается постоянной величиной.

Закон сохранения механической энергии системы. Теорему об изменении кинетической энергии для системы можно представить в виде

При движении системы в стационарном потенциальном силовом поле:

где П – потенциальная энергия внутренних и внешних сил, действующих на систему. Следовательно,

или

Последняя формула выражает закон сохранения механической энергии для системы.

Закон сохранения механической энергии для системы. Полная механическая энергия при движении системы в стационарном потенциальном силовом поле внешних и внутренних сил является величиной постоянной.

Механические системы, для которых выполняется закон сохранения механической энергии, называются консервативными.

ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА