Потенциальное поле и его свойства

Векторное поле Потенциальное поле и его свойства - student2.ru называют потенциальным в области (G), если существует такая скалярная функция (скалярное поле) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru , заданная в (G), что для всех точек этой области: Потенциальное поле и его свойства - student2.ru . Функцию Потенциальное поле и его свойства - student2.ru называют потенциалом поля Потенциальное поле и его свойства - student2.ru .

В потенциальном поле линейный интеграл не зависит от формы пути и определятся только начальной и конечной точками пути, а именно

Потенциальное поле и его свойства - student2.ru

где М0 и М – начальная и конечная точка линии (L).

Верно и обратное: если линейный интеграл поля Потенциальное поле и его свойства - student2.ru (М) не зависит от пути, то поле Потенциальное поле и его свойства - student2.ru (М) потенциально. Потенциал поля определяется с точностью до постоянного слагаемого. Это означает, что если Потенциальное поле и его свойства - student2.ru один из потенциалов поля Потенциальное поле и его свойства - student2.ru , то выражения Потенциальное поле и его свойства - student2.ru при любом постоянном С также являются потенциалами поля. Задание величины потенциала в какой- либо точке М0 области (V) однозначно определяет потенциал любой точки М:

Потенциальное поле и его свойства - student2.ru , (*)

где вместо Потенциальное поле и его свойства - student2.ru использовано обозначение Потенциальное поле и его свойства - student2.ru , поскольку интеграл не зависит от пути.

Потенциальное поле и его свойства - student2.ru Если поле задано в декартовой координатной форме: Потенциальное поле и его свойства - student2.ru , то для нахождения потенциала точки М(x,y,z) удобно взять линейный интеграл по ломанной М0М1М2М, звенья которой параллельны координатным осям.

Предполагается, конечно, что ломаная М0М1М2М не выходит за пределы области (G). При таком выборе пути интегрирования и при дополнительном условии Потенциальное поле и его свойства - student2.ru выражение (*) принимает вид:

Потенциальное поле и его свойства - student2.ru (*)

При использовании этой формулы следует иметь в виду, что в каждом из трех входящих в нее интегралов одной буквой обозначают и верхний предел, и переменную интегрирования, т.е.

Рис. 5.

Потенциальное поле и его свойства - student2.ru

Отметим, что потенциальность поля Потенциальное поле и его свойства - student2.ru и равенство нулю циркуляции поля по искомому простому кусочно-гладкому замкнутому контуру являются эквивалентными свойствами.

Если поле Потенциальное поле и его свойства - student2.ru потенциально в области (G), то в любой точке этой области Потенциальное поле и его свойства - student2.ru . Это свойство потенциального поля является наиболее важным. Таким образом, потенциальное поле Потенциальное поле и его свойства - student2.ru (М) является безвихревым. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если ограничиться поверхностно односвязными областями, то для таких областей понятие потенциального и безвихревого полей оказываются эквивалентными.

Наши рекомендации