Потенциальное векторное поле

Специальные типы полей - 1

Безвихревое векторное поле. Безвихревым векторным полем называют дифференцируемое векторное поле , заданное в пространственной области , если в любой точке этой области

.

Вообще говоря, следует предположить существование и непрерывность частных производных поля - это достаточное условие существования , причем условие более сильное, чем дифференцируемость.

Бесциркуляционное векторное поле. Бесциркуляционным называют непрерывное векторное поле , заданное в пространственной области , если циркуляция этого поля по любому замкнутому контуру , лежащему в , равна нулю, т.е.

(*)

В этом случае не зависит от пути интегрирования, соединяющего в области точки и . (Докажите!). Примером является электростатическое поле, создаваемое заряженными телами конечных размеров.[1]

Работа силового поля

- работа силы , совершаемая при перемещении материальной точки под действием силы по траектории .

Соотношение означает, что работа бесциркуляционного силового поля вдоль замкнутой траектории равна нулю или, что то же, работа бесциркуляционного силового поля не зависит от формы траектории.

Потенциальное векторное поле

Векторное поле , заданное в пространственной области , называется потенциальным, если оно является полем градиента некоторого скалярного поля, т.е. существует скалярная функция :

. (1)

Скалярное поле называется скалярным потенциалом векторного поля .

Знак “-“ при определении потенциала соотношением (1) не обязателен и обусловлен удобством физической интерпретации функции . Для силовых полей ; возможно определение .

• Из соотношения (1) ясно, что потенциал определяется с точностью до аддитивной постоянной.

• Для потенциального поля выражение

(2)

есть полный дифференциал.

• Поверхности уровня скалярного поля называются эквипотенциальными поверхностями.

• Векторные линии потенциального поля ортогональны эквипотенциальным поверхностям. Действительно, . Как известно, градиент поля в точке ортогонален поверхности уровня в этой точке.

В общем случае безвихревое, бесциркуляционное и потенциальное поле – понятия близкие, но не эквивалентные. Для эквивалентности этих понятий необходимо, чтобы

1) поле было непрерывно дифференцируемым[2];

2) область определения поля была поверхностно односвязной (т.е. областью, в которой любую простую замкнутую кривую можно путем непрерывной деформации стянуть в точку, не выходя из ).

Теорема (Ильин, Позняк, стр. 200, Кудрявцев, т. 2, стр.295)

Пусть в поверхностно односвязной области задано непрерывно дифференцируемое векторное поле . Тогда эквивалентны следующие 3 свойства:

1)Поле является в области потенциальным:

2)

3)Векторное поле является безвихревым: .

Пример. Электростатическое поле в области, где выполнены условия теоремы. Однако потенциальным может быть не только ЭС поле.

Следствия.

1. Пусть - потенциальное поле в поверхностно-односвязной области . Тогда в силу (2)

,

где - однозначный потенциал. Следовательно,

. (3)

Итак, непрерывное потенциальное поле в поверхностно-односвязной области является бесциркуляционным.

Если при этом - силовое поле, то (3) означает, что работа потенциального силового поля в поверхностно-односвязной области не зависит от формы траектории и равна разности значений потенциальной функции в начальной и конечной точках; работа вдоль замкнутой траектории равна нулю.

Нахождение потенциала. Потенциал поля можно найти из соотношения (3). Взяв в (3) вместо кривой интегрирования произвольную кривую , где - некоторая фиксированная, а произвольная точка области , получим:

(4)

или

, (5)

где - произвольная постоянная. (Значение потенциала в произвольной, но фиксированной точке есть произвольная постоянная).

Формулы (4) и (5) дают способ построения однозначного потенциала в поверхностно-односвязной области потенциального поля . Пусть - точка, в которой потенциал полагают равным нулю. Тогда

(6)

Потенциал определяется с точностью до аддитивной постоянной. Постоянная определяется выбором точки , в которой потенциал полагают равным нулю.

Итак, если область определения потенциального поля поверхностно–односвязна, то - однозначная функция, определяемая по с точностью до аддитивной постоянной.

Если область многосвязна, то функция может быть многозначной.[3]

Пример. Пусть многосвязная область получается в результате исключения из всего пространства некоторого бесконечного цилиндра. Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру, охватывающему цилиндр, может оказаться отличной от нуля. Тогда потенциал (6) многозначен: зависит от того, сколько раз охватывает цилиндр кривая .