Потенциальное поле и его свойства

Векторное поле Потенциальное поле и его свойства - student2.ru называют потенциальным в области (G), если существует такая скалярная функция (скалярное поле) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru , заданная в (G), что для всех точек этой области: Потенциальное поле и его свойства - student2.ru . Функцию Потенциальное поле и его свойства - student2.ru называют потенциалом поля Потенциальное поле и его свойства - student2.ru .

В потенциальном поле линейный интеграл не зависит от формы пути и определятся только начальной и конечной точками пути, а именно

Потенциальное поле и его свойства - student2.ru

где М0 и М – начальная и конечная точка линии (L).

Верно и обратное: если линейный интеграл поля Потенциальное поле и его свойства - student2.ru (М) не зависит от пути, то поле Потенциальное поле и его свойства - student2.ru (М) потенциально. Потенциал поля определяется с точностью до постоянного слагаемого. Это означает, что если Потенциальное поле и его свойства - student2.ru один из потенциалов поля Потенциальное поле и его свойства - student2.ru , то выражения Потенциальное поле и его свойства - student2.ru при любом постоянном С также являются потенциалами поля. Задание величины потенциала в какой- либо точке М0 области (V) однозначно определяет потенциал любой точки М:

Потенциальное поле и его свойства - student2.ru , (*)

где вместо Потенциальное поле и его свойства - student2.ru использовано обозначение Потенциальное поле и его свойства - student2.ru , поскольку интеграл не зависит от пути.

Потенциальное поле и его свойства - student2.ru Если поле задано в декартовой координатной форме: Потенциальное поле и его свойства - student2.ru , то для нахождения потенциала точки М(x,y,z) удобно взять линейный интеграл по ломанной М0М1М2М, звенья которой параллельны координатным осям.

Предполагается, конечно, что ломаная М0М1М2М не выходит за пределы области (G). При таком выборе пути интегрирования и при дополнительном условии Потенциальное поле и его свойства - student2.ru выражение (*) принимает вид:

Потенциальное поле и его свойства - student2.ru (*)

При использовании этой формулы следует иметь в виду, что в каждом из трех входящих в нее интегралов одной буквой обозначают и верхний предел, и переменную интегрирования, т.е.

Рис. 5.

Потенциальное поле и его свойства - student2.ru

Отметим, что потенциальность поля Потенциальное поле и его свойства - student2.ru и равенство нулю циркуляции поля по искомому простому кусочно-гладкому замкнутому контуру являются эквивалентными свойствами.

Если поле Потенциальное поле и его свойства - student2.ru потенциально в области (G), то в любой точке этой области Потенциальное поле и его свойства - student2.ru . Это свойство потенциального поля является наиболее важным. Таким образом, потенциальное поле Потенциальное поле и его свойства - student2.ru (М) является безвихревым. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если ограничиться поверхностно односвязными областями, то для таких областей понятие потенциального и безвихревого полей оказываются эквивалентными.

Примеры

66. Проверить, что поле Потенциальное поле и его свойства - student2.ru =(y+z) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru + (z+x) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +(x+y) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru является потенциальным, и найти его потенциал.

Решение. Поле Потенциальное поле и его свойства - student2.ru определено во всем пространстве, т.е. в односвязной области, поэтому достаточно проверить, что rot Потенциальное поле и его свойства - student2.ru =0. Имеем:

rot Потенциальное поле и его свойства - student2.ru = Потенциальное поле и его свойства - student2.ru =(1–1) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +(1–1) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +(1–1) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru = Потенциальное поле и его свойства - student2.ru ,

что и доказывает потенциальный характер поля Потенциальное поле и его свойства - student2.ru .

Найдем потенциал двумя способами.

1 способ.

Для нахождения потенциала воспользуемся формулой (*), беря в качестве М0 начало координат:

Потенциальное поле и его свойства - student2.ru

2 способ.

Будем снова считать М0(0,0,0).

Пусть Потенциальное поле и его свойства - student2.ru =x Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +y Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +z Потенциальное поле и его свойства - student2.ru – радиус-вектор точки М(x,y,z), а точка N пробегает отрезок M0М; ее радиус‑вектор Потенциальное поле и его свойства - student2.ru . Точка N имеет координаты tx, ty, tz.

Отсюда d Потенциальное поле и его свойства - student2.ru = Потенциальное поле и его свойства - student2.ru dt. Положим Потенциальное поле и его свойства - student2.ru .

Для рассматриваемого поля Потенциальное поле и его свойства - student2.ru (t)=t(y+z) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru + t(z+x) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +t(x+y) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru .

( Потенциальное поле и его свойства - student2.ru (t), Потенциальное поле и его свойства - student2.ru )=t(y+z)x+t(z+x)y+t(x+y)z=2t(xy+yz+zx).

Следовательно, Потенциальное поле и его свойства - student2.ru =(xy+yz+zx) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru = xy+yz+zx.

Ответ: xy+yz+zx.

67. Доказать, что циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру равна нулю.

Решение: Пусть Потенциальное поле и его свойства - student2.ru - потенциальное поле и (L) - замкнутый контур, началом и концом которого является точка М(М=М0).

Тогда Потенциальное поле и его свойства - student2.ru , что и требовалось доказать.

Упражнения

68. Пусть Потенциальное поле и его свойства - student2.ru – гравитационное поле (поле сил тяготения), которое представляет собой силу притяжения единичной массы, помещенной в точку М, массой m, находящийся в начале координат. Сила определена во всех точках, кроме начала координат и образует векторное поле – поле тяготения точечной массы m. Показать, что поле Потенциальное поле и его свойства - student2.ru потенциально во всем пространстве, кроме начала координат и найти его потенциал.

69. Проверить , что поле Потенциальное поле и его свойства - student2.ru =(3yz+x2) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru + (2y2+3xz) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +(z2+3xy) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru является потенциальным, и найти его потенциал.

70. Доказать, что векторное поле Потенциальное поле и его свойства - student2.ru = y2 Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +2xy Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +z Потенциальное поле и его свойства - student2.ru потенциально, и найти его потенциал.

71. Выяснить, является ли векторное поле Потенциальное поле и его свойства - student2.ru = Потенциальное поле и его свойства - student2.ru Потенциальное поле и его свойства - student2.ru + Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +2 Потенциальное поле и его свойства - student2.ru потенциальным.

72. Даны векторные поля: Потенциальное поле и его свойства - student2.ru 1=(y+z) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru + (x+z) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +(x+y) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru ; Потенциальное поле и его свойства - student2.ru 2=f(x) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru + f2(y) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru + f3(z) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru ; Потенциальное поле и его свойства - student2.ru 3=x Потенциальное поле и его свойства - student2.ru + y Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +y Потенциальное поле и его свойства - student2.ru .

Выяснить какие из них являются потенциальными.

73. Проверить, будет ли потенциальным поле Потенциальное поле и его свойства - student2.ru . В случае потенциальности поля найти его потенциал u(x,y,z).

а) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru =(-2x-yz) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +(-2y-xz) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +(-2z-xy) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru ;

б) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru =(2x-yz) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +(2y-xz) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +(2z-xy) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru ;

в) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru =(2x+yz) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +(2y+xz) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +(2z+xy) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru ;

г) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru =(2x-4yz) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +(2y-4xz) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +(2z-4xy) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru ;

д) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru =(2x-3yz) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +(2y-3xz) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +(2z-3xy) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru ;

е) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru =(-3x+yz) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +(-3y+xz) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +(-3z+xy) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru ;

ж) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru =(2x+2yz) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +(2y+2xz) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +(2z+2xy) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru ;

з) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru =(4x+yz) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +(2y+xz) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru +(2z+xy) Потенциальное поле и его свойства - student2.ru .

Наши рекомендации