Потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы

Если частица в каждой точке пространства подвержена воздействию других тел, то говорят, что эта частица находится в поле сил. Например, вблизи поверхности Земли частица находится в поле силы тяжести.

потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru В электрическом поле неподвижного точечного заряда потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru на заряженную частицу действует поле, характерное тем, что направление силы, действующей на частицу в любой точке пространства, проходит через неподвижный центр (заряд потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru ), а величина силы зависит только от расстояния до этого центра: потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru . Такое поле называется центральным (рис.4.3).

Если в каждой точке поля сила, действующая на частицу, одинакова по величине и направлению, поле называется однородным.

Силовое поле, которое можно описать с помощью функции потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru такой, что

потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru (4.6)

называется потенциальным.Функция потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru называется потенциальной функцией или потенциалом. Если поле не изменяется со временем, оно называется стационарным, в этом случае потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru .

Добавление к функции потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru произвольной постоянной величины не изменяет значений потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru , вычисляемых по формулам (4.6) . Поэтому потенциальная функция определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Однако при фиксированном значении этой постоянной потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru становится однозначной функцией координат и времени.

Вектор с компонентами потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru , где потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru - скалярная функция координат, называется градиентом функции потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru и обозначается потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru либо потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru ( потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru называется оператором набла, потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru читается: «набла фи» или «градиент фи»). Из определения градиента следует, что потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru , поэтому в случае потенциального силового поля имеем:

потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru . (4.7)

Работа силы, удовлетворяющей условию (4.7), равна

потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru , (4.8)

т.е. представляет собой полный дифференциал функции потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru . Проинтегрировав выражение (4.8) по некоторой траектории от точки 1 до точки 2, получаем:

потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru . (4.9)

Форма траектории, по которой осуществлялось интегрирование, была совершенно произвольной. Таким образом, работа, совершаемая над частицей силами стационарного потенциального поля, не зависит от пути, по которому двигалась частица, а определяется только начальным и конечным положениями частицы в пространстве.

потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru Силы, работа которых не зависит от пути, по которому частица переходит из одного положения в другое, называются консервативными. Следовательно, силы, действующие на частицу в стационарном потенциальном поле, являются консервативными.

Из независимости работы консервативных сил от пути вытекает, что работа таких сил на замкнутом пути равна нулю.Чтобы доказать это, разобьем произвольный замкнутый путь (рис.4.4) на две части: путь 1, по которому частица переходит из точки 1 в точку 2, и путь потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru , по которому частица переходит из точки 2 в точку 1. При этом точки 1 и 2 выбраны произвольно.

Работа на всем замкнутом пути равна сумме работ, совершаемых на каждом из участков:

потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru . (4.10)

Очевидно, работы потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru и потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru отличаются только знаком. Действительно, изменение направления движения на обратное приводит к замене потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru на - потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru , поэтому значение интеграла потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru изменяет знак на обратный.

Поэтому равенство (4.10) можно записать в виде: потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru .Так как работа не зависит от пути, то потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru = - потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru , и потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru .

Кроме консервативных сил существуют неконсервативные силы. К ним относятся диссипативные силы, переводящие механическую энергию во внутреннюю ( это силы трения, сопротивления среды), а также гироскопические силы, перпендикулярные скорости ( сила Кореолиса, сила Лоренца), работа которых всегда равна нулю. Для неконсервативных сил соотношение (4.7) не выполняется.

потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru Докажем, что сила тяжести является консервативной. Эта сила в любой точке имеет одинаковые величину и направление – вниз по вертикали (рис.4.5). Поэтому, независимо от того, по какому из путей 1 или II движется частица, работа определяется выражением: потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru

Из рис.4.5 видно, что проекция вектора потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru на направление потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru равна разности высот потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru . Тогда работа потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru

Это выражение не зависит от пути, следовательно, сила тяжести консервативна.

потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru Силы, действующие на частицу в центральном поле, также консервативны (рис.4.6). Элементарная работа центральной силы на пути потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru равна потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru . Проекция потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru на направление силы в данном месте – это проекция на направление радиуса-вектора потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru , она равна приращению расстояния частицы до центра силового поля О:

потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru . Работа на всем пути потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru

Это выражение зависит только от вида функции потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru и от значений потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru и потенциальное поле сил. консервативные и неконсервытивные силы - student2.ru . От вида траектории оно не зависит, следовательно, центральная сила консервативна.

Наши рекомендации