Ряд Тейлора. Разложение функций в степенные ряды

Для функции , имеющей все производные до -го порядка включительно, в окрестности точки (т. е на некотором интервале, содержащем точку ) справедлива формула Тейлора:

, (3.18)

где – так называемый остаточный член.

Если функция имеет производные всех порядков в окрестности точки и в этой окрестности, то справа в формуле получается степенной ряд, который называется рядом Тейлора:

(3.19)

Последнее равенство справедливо лишь в том случае, если при . В этом случае степенной ряд справа сходится и его сумма равна данной функции (говорят, что функция разложена в ряд по степеням ). Если же , то ряд не представляет данной функции, хотя может и сходиться (к другой функции).

Частный случай ряда Тейлора при иногда называют рядом Маклорена. Он имеет вид

(3.20)

Для каждой из элементарных функций существует такое и , что в интервале она разлагается в ряд Тейлора или (если ) в ряд Маклорена.

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена:

· , ; (3.21)

· , ; (3.22)

· , ; (3.23)

· , ; (3.24)

· Биномиальный ряд

, (3.25)

где – произвольное постоянное число, .

Пример. Разложить в ряд Тейлора по степеням .

◄ Имеем: ;

…

Таким образом,

. ►

Ряды Фурье

Функциональный ряд вида

, (3.26)

называется тригонометрическим рядом. Постоянные числа и ( =1, 2, …) называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд (3,26) сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом , т. е. , так как и являются периодическими функциями с периодом .

Рядом Фурье интегрируемой и периодической с периодом интегрируемой функции называется тригонометрический ряд (3.26) с коэффициентами и ( =1, 2, …), определяемыми формулами:

(свободный член), (3.27)

, ( =1, 2, …), (3.28)

, ( =1, 2, …). (3.29)

Определенные по формулам (3.27) ― (3.29) коэффициенты называются коэффициентами Фурье функции . Теория разложения функций в ряды Фурье называется гармоническим анализом.

Ряд Фурье функции может либо расходиться, либо сходиться, причем как к функции , так и к функции, отличной от нее. Условия сходимости ряда Фурье даются теоремой Дирихле.

Теорема Дирихле. Если функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва на отрезке и при этом монотонна или имеет конечное число экстремумов на , то ряд Фурье функции сходится для любых из и его сумма равна:

1) для всех точек непрерывности из интервала ;

2) для всех точек разрыва , где и – левосторонний и правосторонний предел функции в этих точках, соответственно;

3) при и .

Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом , определенную следующим образом: .

Рис. 1

◄ Эта функция кусочно монотонная и ограниченная. Следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье. Вычисляем коэффициенты Фурье:

=

=

Окончательно получаем

.

В точках разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева, т. е. в данном случае . ►

Если является четной функцией , то =0 ( =1, 2, …) и, следовательно, разложение четной функции в ряд Фурье будет содержать только косинусы:

,

где

, , ( =1, 2, …). (3.30)

Для нечетной функции коэффициенты ( =1, 2, …) и, следовательно, ряд Фурье для нечетной функции будет содержать только синусы:

,

где

, ( =1, 2, …). (3.31)

Эти формулы позволяют упрощать вычисления при нахождении коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной. Но следует отметить, что не всякая периодическая функция является четной или нечетной.

Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом , определенную следующим образом: (рис. 2).

Рис. 2

◄ Заданная функция является нечетной. Следовательно, в ее разложении будут только синусы. По формуле (3.31) вычисляем коэффициенты :

.

Таким образом, получаем ряд

.

Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева, т. е. нулю. ►