Разложение функций в степенные ряды

Рассмотрим некоторые частные случаи разложения функции f(x) в степенной ряд. Например, степенной ряд

1 + x + x2 + ¼ + xn

является геометрическим рядом со знаменателем xи, согласно доказанному в примере 3, сходится при | x| < 1; его сумма равна Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , т.е. Разложение функций в степенные ряды - student2.ru = 1 + x + x2 + ¼ + xn +¼, (14)

Равенство (14) можно рассматривать как разложение функции Разложение функций в степенные ряды - student2.ru в степенной ряд.

В качестве другого примера рассмотрим разложение в ряд функции Разложение функций в степенные ряды - student2.ru . Заменяя в равенстве (14) xна -z, получим

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru = 1 -z + z2-¼ + (-1)nzn +¼ (15)

при 0 £ |z | < 1. Проинтегрируем равенство (15):

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru Разложение функций в степенные ряды - student2.ru

Тогда

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru

или

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru (16)

при |x | < 1.

При x = 1 разложение (16) принимает вид

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru (17)

но ряд (17) сходится, значит разложение (16) справедливо для всех x£ 1.

Аналогично, можно записать разложение в степенной ряд функции Разложение функций в степенные ряды - student2.ru . Положим в (14) x = -z2, тогда

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru = 1 -z2 + z4-¼ + (-1)nz2n +¼ (18)

Проинтегрировав левую и правую часть (18), получим

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru ,

или Разложение функций в степенные ряды - student2.ru = Разложение функций в степенные ряды - student2.ru

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru = Разложение функций в степенные ряды - student2.ru (19)

при |x | < 1.

Это разложение верно и при x = 1, т.к. ряд (19) при x = 1 сходится. Известно, что Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , но

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru = Разложение функций в степенные ряды - student2.ru

т.е. можно вычислить значение числа p с любой степенью точности.

Полученные разложения функций Разложение функций в степенные ряды - student2.ru и Разложение функций в степенные ряды - student2.ru являются частными случаями. В общем виде разложение функций в степенной ряд решено Маклореном и Тейлором.

Ряды Маклорена и Тейлора

Рассмотрим произвольную функцию f(x), определенную в заданном интервале |x-x0 | <R, и предположим для нее, что в точке x0 существуют производные всех порядков до n-го включительно. Будем искать многочлен n-степени с неизвестными пока коэффициентами, который наилучшим образом приближается к функцииf(x):

Pn(x) = a0 + a1( x- x0 ) + a2 ( x- x0 )2 + ¼ + an ( x- x0 )n »f (x). (20)

Для этого потребуем, чтобы функция f(x) и ее n производных были равны значению многочлена Pn(x) и его производных в точке x0. Еслиx0 = 0, то

Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ¼ + anxn » f (x). (21)

Как видно из (21)

Pn(0) =a0 = f(0).

Для нахождения коэффициентов ai( i= 1, 2, ¼, n) продифференци-руем (21) почленно:

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru = a1 + 2 a2 x + 3 a3 x2 + 4 a4 x3 + ¼ + n anxn-1 +¼,

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru = 2 a2+ 2×3 a3 x + 3×4 a4 x2 + ¼ + n×(n-1) anxn-2 +¼, (22)

……………………………………………………………

Как видно из (22) при x= 0: f¢(0) =a1, f¢¢(0) = 2 a2, f¢¢¢(0) = 2×3 a3,

f(4)(0) = 2×3×4 a4 , ¼, f(n)(0) = 2×3×4×¼×nan. Отсюда для коэффициентов многочлена (21) получим:

a0 = f(0), a1 = f¢(0), a2= Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , a3 = Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , a4 = Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , ¼,an = Разложение функций в степенные ряды - student2.ru .

Приближение функции f(x) многочленом (21) примет вид (n! = 1×2×3×4×¼×n):

f(x) »f(0) + Разложение функций в степенные ряды - student2.ru x + Разложение функций в степенные ряды - student2.ru x2 + Разложение функций в степенные ряды - student2.ru x3 + ¼ + Разложение функций в степенные ряды - student2.ru xn. (23)

В тех случаях, когда функция f(x) или ее производные теряют смысл при x= 0, пользуются более общим представлением (20) функции в виде многочлена. Легко показать, что для приближения функции f(x) многочленом (20) справедливо выражение:

f(x) »f (x0)+ Разложение функций в степенные ряды - student2.ru (x-x0)+ Разложение функций в степенные ряды - student2.ru (x-x0)2 + Разложение функций в степенные ряды - student2.ru (x-x0)3 + ¼

¼+ Разложение функций в степенные ряды - student2.ru (x-x0)n. (24)

Многочлены (23) и (24) дают лишь некоторое приближение для функции f(x). В связи с этим возникает вопрос о степени близости f(x) и соответствующего многочлена. Разность

f (x) -Pn(x) = rn(x) (25)

называется остаточным членом. Так как n мы можем брать сколь угодно большим, то выражения (23) и (24) приводят к разложению f(x) в бесконечный степенной ряд

f(x) = f (x0) + Разложение функций в степенные ряды - student2.ru (x -x0) + Разложение функций в степенные ряды - student2.ru (x -x0)2 + Разложение функций в степенные ряды - student2.ru (x -x0)3 + ¼

¼ + Разложение функций в степенные ряды - student2.ru (x-x0)n+ ¼(26)

при |x-x0 | <R.

Впервые возможность представления функции в виде бесконечного ряда была доказана Тейлором. При x0 = 0 такой ряд был выведен Маклореном:

f(x) = f(0) + Разложение функций в степенные ряды - student2.ru x + Разложение функций в степенные ряды - student2.ru x2 + Разложение функций в степенные ряды - student2.ru x3 + ¼ + Разложение функций в степенные ряды - student2.ru xn + ¼. (26¢)

Разность между f(x) и суммой (n+1) членов ряда, согласно (25), есть как раз остаточный член rn(x). Тогда очевидно, что для того, чтобы при некотором значении xдействительно имело место разложение (26), необходимо и достаточно, чтобы

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru . (27)

Замечание.Для непрерывной вместе со своими производными функции f(x), как правило, условие (27) выполняется и функция f(x) разлагается в степенной ряд. Далее приведены примеры разложения элементарных функций в степенные ряды.

Пример 10. Разложить в ряд функциюf(x) =ex. Все производные функции ex равны ex. Полагая x = 0, получим f(0) = = Разложение функций в степенные ряды - student2.ru = Разложение функций в степенные ряды - student2.ru = ¼ = 1. Подставляя эти значения в ряд (26¢), будем иметь разложение функции Разложение функций в степенные ряды - student2.ru = ex в ряд Маклорена:

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru (28)

Применяя к этому ряду признак Даламбера

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru .

Степенной ряд (28) сходится для любого x; интервал сходимости- (-¥, ¥).

Пример 11. Разложить в ряд функцию f(x) = Разложение функций в степенные ряды - student2.ru .

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , ¼

При x = 0

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , ¼

Подставляя в (26¢), получим

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , (29)

где x измеряется в радианах.

Пример 12. Разложить в ряд функцию f(x) = Разложение функций в степенные ряды - student2.ru .

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , ¼

При x = 0

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , ¼

Подставляя в (26¢), получим

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru (30)

Разложение (30), также как и (29), справедливо при любом x.

Пример 13. Разложить в ряд функцию f(x) = Разложение функций в степенные ряды - student2.ru . Функция Разложение функций в степенные ряды - student2.ru не определена приx = 0, поэтому разложим ее в ряд Тейлора (26) по возрастающим степеням (x-1) (при x0 = 1).

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , ¼

При x = 1

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , ¼

Подставляя в (26), находим

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru

Пример 14. Разложить в ряд функцию мнимого аргумента f(x) = Разложение функций в степенные ряды - student2.ru . Обозначим z = ix. Зная разложение в ряд функции ex, запишем

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru

Разделяя действительную и мнимую часть, получим

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru . (31)

Согласно (29) и (30), равенство (31) можно записать в виде

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru . (32)

Заменяя x на -x и учитывая, что Разложение функций в степенные ряды - student2.ru = Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , а Разложение функций в степенные ряды - student2.ru = - Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , находим

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru . (33)

Формулы (32) и (33) были выведены Эйлером; разрешая (32) и (33) относительно Разложение функций в степенные ряды - student2.ru и Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , получим

Разложение функций в степенные ряды - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды - student2.ru .

Наши рекомендации