Разложение функций в степенные ряды 2 страница

Поэтому если взять Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , то окажется Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru ~ Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , что обеспечит в дальнейшем выполнение условия (6). Поэтому проведем сравнение (в предельной форме) ряда (8) с гармоническим рядом Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , который, является рядом вида (7) при Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , а потому расходится. Для проверки выполнения условия (6) вычислим предел:

Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru ={делим числитель и знаменатель на Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru }= Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Поскольку число Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru – это не Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru и не Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , то по признаку сравнения в предельной форме ряд (8) ведет себя (в смысле сходимости-расходимости) так же, как и гармонический. Но гармонический ряд – расходится, следовательно, ряд (8) тоже расходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

(9) Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru .

Решение. Опять сравним (в предельной форме) ряд (9) с рядом вида (7) с подходящим значением параметра Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Для его выбора опять оценим поведение общего члена Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , оставляя в числителе и знаменателе только старшие степени Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru :

Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru ~ Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru .

Поэтому сравним (в предельной форме) ряд (9) с рядом Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Этот ряд сходится, так как это ряд вида (7) при Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . В нашем примере ряд (2) есть ряд (9) (а потому Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru ), а ряд (3) есть сходящийся ряд Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru (а потому Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru ) . Вычислим предел (6):

Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru = {делим числитель и знаменатель на Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru }= Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Поскольку число Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru – это не Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru и не Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , то по признаку сравнения в предельной форме ряд (9) ведет себя так же, как и сходящийся ряд Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Поэтому ряд (9) тоже сходится.

Перейдем к другой группе признаков сходимости-расходимости положительных рядов. Их преимущество состоит в том, что для их применения не надо строить вспомогательные ряды, как это необходимо при применении признаков сравнения рядов.

Теорема (признак Даламбера). Пусть для положительного ряда Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru существует предел

(10) Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru .

Тогда при l > 1 ряд расходится, а при l < 1 сходится.

В выражении (10): Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru общий член исследуемого ряда, а выражение для Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru получается из выражения для Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru заменой в нем Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru на Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Доказательство признака Даламбера построено на сравнении ряда Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru со специально построенной сходящейся (в случае l < 1) или расходящейся (в случае l > 1) геометрической прогрессией. Оно достаточно формализовано, а потому мы его опускаем.

Большим недостатком признака Даламбера является то, что он не отвечает на вопрос о сходимости-расходимости в случае Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru (что встречается достаточно часто) и тогда требуется дополнительное исследование. Например, такая ситуация возникает при исследовании гармонического ряда, да и вообще рядов вида Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , сходимость которых в зависимости от значения параметра Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru обсуждалась выше.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

(11) Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru .

Решение. Общий член ряда (11) имеет вид Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Тогда выражение для Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru имеет вид: Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Тогда их отношение Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru равно : Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru = Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru = Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru ={при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются}= Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Вычисляем предел (10):

Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru = Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru = Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Итак, в (10) Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , а потому по признаку Даламбера ряд (11) расходится.

Для дальнейших примеров напомним понятие факториала числа. Пусть Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru − натуральное число (т.е. целое положительное). Тогда факториалом этого числа (обозначается Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru ) называется произведение всех целых чисел от 1 до этого числа Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru :

Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru .

Например, Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Факториалом числа ноль называется число 1: Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru .

Пример 5. Исследовать сходимость ряда .

(12) Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru .

Решение. Общий член ряда (12) имеет вид Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Тогда выражение для Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru имеет вид: Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Тогда их отношение Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru равно : Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru = Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru = Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru =
={сокращаем в числителе и знаменателе Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru }= Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Вычисляем предел (10): Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru = Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Итак, в (10) Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , а потому по признаку Даламбера ряд (12) сходится.

Признак Даламбера удобно использовать для выяснения сходимости таких рядов, общие члены которых содержат степени (с постоянным основанием) и факториалы. В этом случае в выражении Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru многое сокращается (как это было видно на примерах), а само выражение оказывается достаточно простым для последующего вычисления предела Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . В некоторых других случаях удобно использовать следующий ниже признак.

Теорема (радикальный признак Коши). Пусть для положительного ряда Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru существует предел

(13) Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru .

Тогда при l > 1 ряд расходится, а при l < 1 сходится.

Аналогичным недостатком этого признака является то, что он не отвечает на вопрос о сходимости в случае Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru и тогда требуется дополнительное исследование.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда

(14) Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru .

Решение. Общий член ряда (14) имеет вид Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Вычислим предел (13):

Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Итак, для предела (13) получилось Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , а потому по радикальному признаку Коши ряд (14) сходится.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда

(15) Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru .

Решение. Общий член ряда (15) имеет вид Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Вычислим предел (13):

Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru {извлекаем корень из числителя и знаменателя}= = Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru {полученный предел представляет собой как раз второй замечательный предел, определяющий знаменитое число Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru }= Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Итак, для предела (13) получилось Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , а потому по радикальному признаку Коши ряд (15) расходится.

Признак Коши удобно использовать для выяснения сходимости таких рядов, общий член которых Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru является n-ой степенью некоторого несложного выражения. В этом случае в выражении Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru корень и степень «сокращаются», а полученное выражение оказывается достаточно простым для последующего вычисления предела (13). В некоторых более сложных случаях удобно использовать следующий ниже признак.

Теорема (интегральный признак Коши). Пусть для положительного ряда Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru (индекс суммирования Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru может начинаться с любого целого числа Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru ) существует такая положительная непрерывная и убывающая на [m, +∞) функция Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , что Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Тогда для сходимости этого ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru .

Для применения этого признака функция Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , фигурирующая в теореме, может быть построена следующим образом: в выражении для общего члена ряда Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru букву Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru заменяют на Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru .

Только этот признак из приведенных выше сможет ответить на вопрос о сходимости гармонического ряда и вообще рядов вида (7), что видно из следующего примера.

Пример 8. Исследовать сходимость ряда

(16) Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru

в зависимости от величины параметра Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru .

Решение. Если Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , то общий член ряда Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru не стремится к нулю (он будет даже стремиться к бесконечности), а потому по сформулированному в предыдущем параграфе признаку расходимости ряда этот ряд расходится. Рассмотрим теперь числа Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Общий член ряда (16) имеет вид Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Заменяя в этом выражении Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru на Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , получим функцию Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , для которой, очевидно, выполнено: Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Проверим для нее выполнение условий интегрального признака Коши: функция Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru должна быть положительной, непрерывной и убывающей на [1, +∞). Очевидно, все эти свойства выполняются в рассматриваемом случае Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Поэтому по интегральному признаку Коши сходимость ряда (16) совпадает со сходимостью несобственного интеграла Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . При рассмотрении темы «Несобственные интегралы» в качестве примера исследовалась сходимость именно этого интеграла и было выяснено, что он сходится для всех Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru и расходится для Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Таким образом, как это и утверждалось выше, ряд вида (16) сходится для всех Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru и расходится для Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru .

Пример 9. Исследовать сходимость ряда

(17) Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru .

Решение. Суммирование начато с Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , поскольку при Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru общий член ряда Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru неопределен (деление на Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru ). Общий член ряда (17) имеет вид Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Заменяя в этом выражении Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru на Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , получим функцию Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , для которой, очевидно, выполнено: Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Далее, очевидно, что эта функция положительна, непрерывна и является убывающей на [2, +∞) (последнее следует из очевидного факта, что функция Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru положительная и возрастающая). Поэтому по интегральному признаку Коши сходимость ряда (17) совпадает со сходимостью несобственного интеграла Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Исследуем этот интеграл на сходимость. Сходимость этого несобственного интеграла (по определению сходимости) зависит от того, будет ли существовать конечный предел

(18) Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru .

Вычислим значение интеграла под знаком предела методом замены переменной:

Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Таким образом, предел в (18): Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Поэтому по интегральному признаку Коши ряд (17) расходится.

Замечание. Легко теперь установить (по тому же интегральному признаку Коши), что «чуть исправленный» ряд Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru уже сходится.

Знакочередующиеся ряды

Мы рассматривали признаки сходимости положительных рядов, все члены которых неотрицательны. Теперь мы будем допускать и отрицательные слагаемые, но для начала будем считать, что знаки слагаемых строго чередуются. Знакочередующимся рядом называется ряд, знаки слагаемых которого строго чередуются, начиная с положительного или отрицательного слагаемого. Поскольку число Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru в четной степени равно Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , а в нечетной Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , то такие ряды можно записать в форме

(1) Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru

или

(2) Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru ,

причем в (1) и (2) уже считаем Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , так как знак слагаемых мы учли множителем Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru или Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Эти множители попеременно принимают значения 1 и (−1), обеспечивая чередование знаков слагаемых рядов (1) и (2). Для обоснования сходимости таких рядов чаще всего используется так называемый признак Лейбница.

Теорема (признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов). Пусть для знакочередующегося ряда (1) или (2) выполнено:
1. Последовательность {an} монотонно убывает, т.е. Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru .
2. Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru .
Тогда исходный знакочередующийся ряд сходится.

Это только достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов. Поэтому если для какого-либо знакочередующегося ряда условия признака не выполнены, это не означает, что этот ряд обязательно расходится. Однако если условия выполнены, то ряд обязательно сходится. Впрочем, понятно, что второе-то условие ( Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru ) является необходимым для сходимости рядов вида (1) или (2), иначе общие члены этих рядов Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru и Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru не стремились бы к 0 тоже, а потому ряды бы оказались расходящимися (см. признак расходимости ряда в параграфе «Числовые ряды – основные понятия»).

Таким образом, справедливо следующее

Утверждение (достаточное условие расходимости знакочередующегося ряда). Если для знакочередующегося ряда (1) или (2)

(3) Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru или не существует, или Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru ,

то он является расходящимся.

Пример 1. Попробуем через один поменять знаки слагаемых у гармонического ряда Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru (который, как известно, расходится). Получим следующий знакочередующийся ряд: Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Это знакочередующийся ряд вида (1), для которого Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru и оба условия признака Лейбница, очевидно, выполняются. Действительно, очевидно, что последовательность Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru убывает (с ростом номера n) и Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Поэтому этот ряд ( в отличие от гармонического ) сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

(4) Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru .

Решение. Это знакочередующийся ряд вида (2), у которого Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Очевидно Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , а потому выполнено условие (3) расходимости ряда. Итак, ряд (4) расходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

(5) Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru .

Решение. Покажем, что ряд (5) является знакочередующимся рядом Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru с

(6) Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru

и к нему применим признак Лейбница. Для того, чтобы доказать, что ряд (5) является знакочередующимся, нужно показать, что в (6)

(7) Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru .

Затем, чтобы показать, что к ряду (5) применим признак Лейбница, нужно доказать, что

(8) Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru

(9) Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru .

Для доказательства свойств (7), (8) и (9) рассмотрим вспомогательную функцию

(10) Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru .

Функция Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru в (10) это знаменатель в (6), где Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru заменено на Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Ясно, что производная Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , а потому Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru для всех Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , что влечет возрастание функции Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru на Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Но поскольку Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru , то и для всех Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru выполнено Разложение функций в степенные ряды 2 страница - student2.ru . Отсюда сразу следует справедливость (7) (так как в (6) числитель равен 1, а знаменатель больше нуля) и (8) (так как в (6) числитель не меняется, а знаменатель растет). Покажем выполнение свойства (9):

Наши рекомендации