Часть 3. Разложение функций в степенные ряды

Возможность почленного дифференцирования и интегрирования степенного ряда внутри его интервала сходимости, а также простота степенной функции, делают степенные ряды незаменимыми в теоретических и практических исследованиях. Встаёт вопрос о разложении функции в степенной ряд и нахождении области его сходимости.

Теорема.Функция , бесконечно дифференцируемая в некотором интервале , может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора , (3.1)

если в этом интервале выполняется условие , где

-остаточный член формулы Тейлора, . При получаем ряд Маклорена: .(3.2)

Замечание.Если в некотором интервале, содержащем точку , при любом n выполняется неравенство , М>0,то , и разложима в ряд Тейлора.

( Если последнее условие не выполняется, то формально построенный ряд Тейлора может быть сходящимся, но к другой функции.)

Пример 3.1. Можно ли разложить: а) в ряд Маклорена;

б) в ряд Тейлора по степеням ;

в) в ряд Маклорена?

Решение. а) нельзя разложить в ряд Маклорена, так как в точке ни функция, ни её производные не определены; б) разложить по степеням нельзя, так как в точке

функция определена, но является граничной точкой области определения, и производные в ней не определены;

в) можно разложить в ряд Маклорена, так как в точке определена как сама функция, так и её производная любого порядка.

Притом очевидно, что , то есть полученный ряд будет сходиться именно к .

Приёмы разложения функций в степенные ряды.

I. Непосредственное разложение функции в ряд Тейлора.

В этом случае, находя все , формально составляют ряд

и находят область сходимости этого ряда.

Пример 3.2.Разложить в ряд Тейлора по степеням .

а) Составим ряд Тейлора в виде .

Вычислим производные до n порядка и найдём их значения при .

………………. ………………………

Подставим вычисленные производные в ряд Тейлора:

.

б) Область сходимости полученного ряда: .

На концах интервала: - расходится, как гармонический ряд. - сходится условно.

Итак, область сходимости полученного ряда .

в) Чтобы ответить на вопрос, сходится ли полученный ряд именно к функции , проверим выполнимость условия .

, , .Следовательно, ряд в области сходится к функции , т. е. является разложением данной функции по степеням .

Отметим, что непосредственное разложение функций в ряд Тейлора не всегда позволяет получить разложение вида ,

так как найти общую формулу бывает затруднительно. В таких случаях либо ограничиваются конечным числом членов степенного ряда, либо пользуются разложениями в степенной ряд элементарных функций.