Разложение функций в степенные ряды

Рассмотрим некоторые частные случаи разложения функции f(x) в степенной ряд. Например, степенной ряд

1 + x + x² + ¼ + xⁿ +¼

является геометрическим рядом со знаменателем xи, согласно доказанному в примере 3, сходится при | x| < 1; его сумма равна , т.е. = 1 + x + x² + ¼ + xⁿ +¼, (14)

Равенство (14) можно рассматривать как разложение функции в степенной ряд.

В качестве другого примера рассмотрим разложение в ряд функции . Заменяя в равенстве (14) xна -z, получим

= 1 -z + z²-¼ + (-1)ⁿzⁿ +¼ (15)

при 0 £ |z | < 1. Проинтегрируем равенство (15):

Тогда

или

(16)

при |x | < 1.

При x = 1 разложение (16) принимает вид

(17)

но ряд (17) сходится, значит разложение (16) справедливо для всех x£ 1.

Аналогично, можно записать разложение в степенной ряд функции . Положим в (14) x = -z², тогда

= 1 -z² + z⁴-¼ + (-1)ⁿz²ⁿ +¼ (18)

Проинтегрировав левую и правую часть (18), получим

,

или =

= (19)

при |x | < 1.

Это разложение верно и при x = 1, т.к. ряд (19) при x = 1 сходится. Известно, что , но

=

т.е. можно вычислить значение числа p с любой степенью точности.

Полученные разложения функций и являются частными случаями. В общем виде разложение функций в степенной ряд решено Маклореном и Тейлором.

Ряды Маклорена и Тейлора

Рассмотрим произвольную функцию f(x), определенную в заданном интервале |x-x₀ | <R, и предположим для нее, что в точке x₀ существуют производные всех порядков до n-го включительно. Будем искать многочлен n-степени с неизвестными пока коэффициентами, который наилучшим образом приближается к функцииf(x):

P_n(x) = a₀ + a₁( x- x₀ ) + a₂ ( x- x₀ )² + ¼ + a_n ( x- x₀ )ⁿ »f (x). (20)

Для этого потребуем, чтобы функция f(x) и ее n производных были равны значению многочлена P_n(x) и его производных в точке x₀. Еслиx₀ = 0, то

P_n(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ¼ + a_nxⁿ » f (x). (21)

Как видно из (21)

P_n(0) =a₀ = f(0).

Для нахождения коэффициентов a_i( i= 1, 2, ¼, n) продифференци-руем (21) почленно:

= a₁ + 2 a₂ x + 3 a₃ x² + 4 a₄ x³ + ¼ + n a_nx^n-1 +¼,

= 2 a₂+ 2×3 a₃ x + 3×4 a₄ x² + ¼ + n×(n-1) a_nx^{n-2 +}¼, (22)

……………………………………………………………

Как видно из (22) при x= 0: f¢(0) =a₁, f¢¢(0) = 2 a₂, f¢¢¢(0) = 2×3 a₃,

f⁽⁴⁾(0) = 2×3×4 a₄ , ¼, f⁽ⁿ⁾(0) = 2×3×4×¼×na_n. Отсюда для коэффициентов многочлена (21) получим:

a₀ = f(0), a₁ = f¢(0), a₂= , a₃ = , a₄ = , ¼,a_n = .

Приближение функции f(x) многочленом (21) примет вид (n! = 1×2×3×4×¼×n):

f(x) »f(0) + x + x² + x³ + ¼ + xⁿ. (23)

В тех случаях, когда функция f(x) или ее производные теряют смысл при x= 0, пользуются более общим представлением (20) функции в виде многочлена. Легко показать, что для приближения функции f(x) многочленом (20) справедливо выражение:

f(x) »f (x₀)+ (x-x₀)+ (x-x₀)² + (x-x₀)³ + ¼

¼+ (x-x₀)ⁿ. (24)

Многочлены (23) и (24) дают лишь некоторое приближение для функции f(x). В связи с этим возникает вопрос о степени близости f(x) и соответствующего многочлена. Разность

f (x) -P_n(x) = r_n(x) (25)

называется остаточным членом. Так как n мы можем брать сколь угодно большим, то выражения (23) и (24) приводят к разложению f(x) в бесконечный степенной ряд

f(x) = f (x₀) + (x -x₀) + (x -x₀)² + (x -x₀)³ + ¼

¼ + (x-x₀)ⁿ+ ¼(26)

при |x-x₀ | <R.

Впервые возможность представления функции в виде бесконечного ряда была доказана Тейлором. При x₀ = 0 такой ряд был выведен Маклореном:

f(x) = f(0) + x + x² + x³ + ¼ + xⁿ + ¼. (26¢)

Разность между f(x) и суммой (n+1) членов ряда, согласно (25), есть как раз остаточный член r_n(x). Тогда очевидно, что для того, чтобы при некотором значении xдействительно имело место разложение (26), необходимо и достаточно, чтобы

. (27)

Замечание.Для непрерывной вместе со своими производными функции f(x), как правило, условие (27) выполняется и функция f(x) разлагается в степенной ряд. Далее приведены примеры разложения элементарных функций в степенные ряды.

Пример 10. Разложить в ряд функциюf(x) =e^x. Все производные функции e^x равны e^x. Полагая x = 0, получим f(0) = = = = ¼ = 1. Подставляя эти значения в ряд (26¢), будем иметь разложение функции = e^x в ряд Маклорена:

(28)

Применяя к этому ряду признак Даламбера

.

Степенной ряд (28) сходится для любого x; интервал сходимости- (-¥, ¥).

Пример 11. Разложить в ряд функцию f(x) = .

, , , , ¼

При x = 0

, , , , , ¼

Подставляя в (26¢), получим

, (29)

где x измеряется в радианах.

Пример 12. Разложить в ряд функцию f(x) = .

, , , , ¼

При x = 0

, , , , , ¼

Подставляя в (26¢), получим

(30)

Разложение (30), также как и (29), справедливо при любом x.

Пример 13. Разложить в ряд функцию f(x) = . Функция не определена приx = 0, поэтому разложим ее в ряд Тейлора (26) по возрастающим степеням (x-1) (при x₀ = 1).

, , , , ¼

При x = 1

, , , , , ¼

Подставляя в (26), находим

Пример 14. Разложить в ряд функцию мнимого аргумента f(x) = . Обозначим z = ix. Зная разложение в ряд функции e^x, запишем

Разделяя действительную и мнимую часть, получим

. (31)

Согласно (29) и (30), равенство (31) можно записать в виде

. (32)

Заменяя x на -x и учитывая, что = , а = - , находим

. (33)

Формулы (32) и (33) были выведены Эйлером; разрешая (32) и (33) относительно и , получим

, .