Производные неявно заданных функций

Дифференцировать неявные функции можно по тем же правилам, что явные, однако, при этом необходимо договориться, что при этом задании является функцией, а что аргументом. Иначе сама постановка задачи теряет смысл. Возможны два пути решения задачи. Первый – от неявного задания функции перейти к явному, если это возможно. Второй – дифференцировать непосредственно заданную функцию.

Рассмотрим несколько примеров.

1) Видим, что уравнением задана неявная функция, а также, что при этом задании предлагается считать функцией, а аргументом и вычислять производную от функции по аргументу .

1 способ (он здесь возможен). Определяем из уравнения , тогда

.

2 способ. Дифференцируем обе части уравнения по аргументу :

. При раскрытии этого выражения следует учесть, что при дифференцировании по первое слагаемое левой части уравнения является простой функцией, а производную от второго слагаемого следует искать как производную сложной функции с промежуточным аргументом . Итак,

( напомним, что производную от степенной функции следует умножить на производную промежуточного аргумента ).

2) .

В этом случае первый способ дифференцирования неприменим, поскольку решить данное уравнение невозможно ни относительно , ни относительно .

Поскольку с выбором функции (это опять ) определились при постановке задачи, дифференцируем обе части равенства по аргументу :

.

Очевидно,

.

Приведем подобные члены, собрав все слагаемы с в левой части равенства.

.

Определяем отсюда производную

.

Примеры для самостоятельного решения

Определить .

7.10. , 7.11. , 7.12. ,

7.13. , 7.14. , 7.15. .

"Логарифмическое" дифференцирование

Имеется ввиду дифференцирование функции с предварительным ее логарифмированием. Такой прием используется, когда функция не поддается дифференцированию обычным способом. Рассмотрим функцию . Функция задана в явном виде, но таблицу производных здесь использовать невозможно, поскольку функция не является ни степенной, ни показательной. Предварительное логарифмирование обеих частей уравнения с использованием одного из свойств логарифмов решает проблему, переводя при этом явную функцию в неявную.

. Поскольку заранее известно, что функцией является , дифференцируем обе части полученного уравнения по

,

.

Есть еще один случай, когда удобно использовать "логарифмическое" дифференцирование. Задана функция

.

Непосредственное дифференцирование этой функции возможно, но приводит к очень громоздким вычислениям. Логарифмируем обе части уравнения, используя при этом одно из свойств логарифмов

,

.

Дифференцируем обе части уравнения по :

,

откуда следует

.

Окончательно

.

Замечание. Возможно логарифмирование по любому основанию, однако, формула производной натурального логарифма проще.

Докажем с помощью "логарифмического" дифференцирования не доказанную в общем виде формулу из таблицы производных. Дано , логарифмируем , откуда следует .

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить

7.16. , 7.17. , 7.18. ,

7.19. ,

7.20. .