Функций заданных параметрически

Пусть зависимость ф-ии у и аргументов х, задана параметрически, т.е. в виде 2-х уравнений.

Логарифмическое дифференцирование.

Диф-е многих ф-ий упрощается если сначала логарифмируют, а полученный диф-ют, такую операцию наз-ют логариф-им дифф-ем. Логариф-ое диф-е применяют когда ф-ия содержит лог-ие операции (умнож.,деление, в степень, извлеч.корня). Или для нахождения производной от показательной степенной ф-ии.

Вопрос 22.

Уравнение касательной и нормали к плоской кривой.

Если точка М₀(х₀;у₀) это точка касания, то угл. коэфф. косателной = произв-ой этой точки К=f ’(x₀). Воспользуемся ур-ем прямой проходящ. через данную точку М₀ в данном направлении. у-у₀=К(х-х₀), напишем ур-ие касательной у-у₀=f’(x₀)(x-x₀) проходящ. через М₀. Прямая касательной в точке касания наз. Нормалью кривой, т.к. она ⊥ к касательной, то К_норм= = . Поэтому ур-е нормали к кривой в точке М₀ -> у-у₀= (x-x₀), где f ’(x)≠0.

Вопрос 23.

Производные высших порядков,

Производная ф. у’=f(x), также является ф-ей от х, она наз. производной 1 порядка. Если ф-я у’=f’(x) дифферен., то ее производная наз. произ-ой 2 порядка и обозначается у’’ или f’’(x) или . y’’=(y’’)’ … общая ф-ла n-порядка - . Произ-ая порядка начиная со 2 и выше наз. произ-ми высших порядков.

Физический смысл II произ-ой: II произ-ая от пути по времени есть величина ускорения прямолин. движения точки. – в этой формуле смысл II производной. Если ф-ия задана неявно (это когда «у»- не выражен) F(x;y)=0, то продифференцировав это ур-е по х и выразив из наилучшего результата у’ находим I-ую производную у’. Продеф-ав по х I производную находят II произ-ю. В нее будут входить у'; y; x. В этот результат нужно подставить вместо у’ найденное значение. Аналогично находится у’’’. Если ф-ия задана параметрически , то произ-ая находится по «х». находим 2 произ-ую , = , .

формула Лейбница.

Вопрос 24.

Дифференциал функции,Пусть фун-ия у=f(x) имеет производную в точке х. f’(x)= . Воспользуемся теоремой: если , то сама будет = А+ , где , тогда

Каждая из 2-х слагаемых является б.м.в. Сравним каждую из них с .

1-ое слагаемое и это б.м. одного порядка

–2 слагаемоеб.м. более высокого порядка, чем , поэтому 1 слагаемое называется главной частью приращения ф-ции .

Дифференциалом ф-ции , называется главная часть приращения ф-ции обозначается
.

Выразим , для этого рассмотрим и найдем ее дифференциал . .

дифференциал ф-ции = произведению производной этой ф-ции на дифференциал независимой переменной:

Его геометрический смысл.

Проведем к графику ф-ции в точке касательную , а . Найдем .

Рассматриваем : .

Дифференциал ф-ции в точке = приращению ординаты касательной проведенной к графику
ф-ции в этой точке – в этом геометрический смысл дифференциала.

Вопрос 25.