Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически

1 Пусть дано уравнение Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru .

Таким образом, для любой функции Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru , заданной неявно имеет место тождество

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru ,

справедливое для любого Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru .

Пример. Найти производную функции Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru .

Решение. Функция Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru считается заданной неявно, если является тождеством относительно Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru . При дифференцировании Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru и Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru следует рассматривать как сложные функции Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru , а Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru – промежуточный аргумент.

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru ,

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru .

Производная неявной функции выражается как Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru .

2 Параметрически заданная функция

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru (1)

где Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru , любое значение Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru соответствует Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru и Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru , когда Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru изменяется в отрезке описывается некоторая линия.

Уравнения (1) называются параметрическими уравнениями кривой, Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru – параметром.

Предположим, что Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru имеет обратную функцию Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru , следовательно, Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru , таким образом (1) определяют Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru , и говорят, Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru от Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru задана параметрически.

Выражение Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru получится исключением Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru из (1).

Параметрическое задание кривых широко используется в механике. Если в Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru движется точка, и известны законы движения проекций этой точки на оси координат

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru (1’)

где параметр Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru – время,

то (1’) – уравнение траектории точки.

Окружность:

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru .

Астроида:

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru .

Предположим, что Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru и Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru имеют производные. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru имеет обратную функцию Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru , которая также имеет производную, следовательно, Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru , заданную параметрически, можно рассматривать как сложную функцию.

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru ,

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru – промежуточный аргумент.

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru ,

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru ,

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru .

Пример. Найти производную функции, заданной параметрически

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru

Решение.

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru ,

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru ,

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически - student2.ru .

Наши рекомендации