Дифференцирование функций, заданных параметрически. Производные высших порядков

Параметрическое задание функции и её дифференцирование.

Пусть даны две функции и одной независимой переменной , определённые и непрерывные в одном и том же промежутке. Если монотонна, то обратная к ней функция однозначна, непрерывна и строго монотонна и можно рассматривать как функцию, зависящую от переменной х посредством переменной , называемой параметром: .

В этом случае говорят, что функция от х задана параметрически с помощью уравнений , .

Параметрическое задание функций удобно при изучении движения точки. Если точка движется на плоскости, то её координаты х и являются функциями времени . Задав эти функции и , мы полностью определим движение точки.

Так, функция , задают уравнение окружности радиуса R, с центром в начале координат, а , - параметрические уравнения эллипса.

Производная функция, заданной параметрическими уравнениями и :

Пример 2.6. Найти , если , .

Решение: = .

Производные высших порядков.

Производной второго порядка от функции называется производная от производной первого порядка, то есть .

Вторая производная обозначается , или , или .

Аналогично производная третьего порядка от функции есть производная от производной второго порядка .

Вообще, производная порядка от заданной функции есть производная от производной порядка и обозначается так: , или , или .

Пример2.7. Найти производные второго порядка функций:

а) ; б) в)

Решение: а) ; .

б) ;

в) ;

Пример 2.8. Найти производные третьего порядка функций:

а) ; б) .

Решение: а) ; ;

б) ;

Приложения производной.

Угол между кривыми.

Если две кривые пересекаются в какой-нибудь точке, их направление в этой точке определяется направлением касательных, которые характеризуются угловыми коэффициентами и . Если кривые заданы уравнениями и , то, решая их совместно как систему, можно найти координаты точек пересечения кривых , ,…

Производные функций и в точке численно равны угловым коэффициентам касательных, то есть и .

Вычисление угла между кривыми сводится к вычислению угла между касательными в точке пересечения: (3.1)

Пример 3.1. Под каким углом пересекаются парабола и окружность

Решение: 1. Найдем точки пересечения кривых, решив систему уравнений

откуда и , .

Подставляя значения этих корней в первое уравнение системы находим:

; .

Ввиду симметричного расположения кривых относительно оси , угол между кривыми в точках и будет одинаков.

Определим угол между кривыми в точках и .

2. Продифференцируем уравнения кривых, как неявные функции. Получим , откуда и , откуда .

В точке О оба угловых коэффициента обращаются в бесконечность:

; ;

это значит, что касательные к обеим кривым в точке О перпендикулярны оси и угол между ними равен нулю.

В точке А: ; .

Угол между кривыми в точке А находим по формуле (3.1)

,

Уравнение касательной и нормали.

Пример 3.2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке .

Решение: Найдем ординату точки касания: Для составления уравнений касательной и нормали найдем угловой коэффициент

В точке

Напомним уравнение касательной (3.2)

Откуда или

и уравнение нормали: (3.3)

откуда или

Приложения производной к задачам механики.

Механический смысл первой производной- скорость движения материальной точки ; механический смысл второй производной

– ускорение

Пример 3.3. Точка движется по прямой и ее расстояние от начального пункта через равно

а) В какие моменты точка была в начальной точке?

б) В какие моменты ее скорость равна нулю?

Решение: а) Пребывание в начальной точке означает, что путь равен нулю , т. е.

откуда , .

Т.о. точка находится в начальной точке в моменты времени и .

б) Найдем производную

Определяя, в какие моменты времени приходим к уравнению

откуда

Следовательно, скорость точки равна нулю при

Пример3.4. Круглый металлический диск расширяется от нагревания так, что его радиус равномерно увеличивается на С какой скоростью увеличивается его площадь, если радиус равен ?

Решение: пусть радиус диска равен , а площадь . Тогда , где и - функции от времени Дифференцируя по обе переменные и , получим две связанные следующим уравнением скорости

Подставляя и , найдем скорость увеличения площади диска .

3.2. Дифференциал. Приближенное вычисление функции при помощи дифференциала.

Дифференциалом функции называется главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной. Обозначается дифференциал символом . Так как полное приращение функции (3.4), где , то главная часть приращения функции или дифференциал есть первое слагаемое в правой части этого равенства

Поскольку дифференциал независимой переменной равен ее приращению, то есть , то

Из формулы (3.4) следует, что или

или или (3.5)

Формулу (3.5) можно использовать для приближенных вычислений.

Пример 3.5. Вычислить с точностью до 0,001.

Решение: Примем , тогда Положим , (радиан). По формуле (3.5) найдем

Пример 3.6. Вычислить:

Решение: , , , ;

Малые ошибки. Вычисление погрешностей.

Если есть погрешность измерения величины , то отношение есть относительная погрешность измерения, а есть процентная погрешность измерения.

Пример 3.7. Сторона квадрата равна . На сколько увеличится его площадь, если каждую сторону увеличить на: а) ; б) ; в) . Найти главную линейную часть приращения площади этого квадрата и оценить относительную ошибку (в процентах) при замене приращения его главной частью – дифференциалом.

Решение: Пусть сторона квадрата , приращение стороны . Площадь квадрата . Главная часть приращения площади есть дифференциал . Полагая ; ; найдем соответствующие главные приращения его главные приращения площади:

а) ; б) ; в) .

Относительные процентные ошибки получим, составив отношение с учетом того, что . Итак, будем иметь

а) ;

б) ;

в)

Сопоставляя результаты, видим, что чем меньше , тем правомернее использование дифференциала в приближенных вычислениях.