Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование

Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru у

f(x)

f(x0 +Dx) P

Df

f(x0) M

a b Dx

0 x0 x0 + Dx x

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru ,

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Уравнение касательной к кривой: Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Уравнение нормали к кривой: Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru .

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

Односторонние производные функции в точке.

Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется правое (левое) значение предела отношения Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru при условии, что это отношение существует.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х0, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х0, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х0, она может быть в ней не дифференцируема.

Например: f(x) = ïxï- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.

Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

Понятно, что это условие не является достаточным.

Основные правила дифференцирования.

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru , если v ¹ 0

Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Производные основных элементарных функций.

1)С¢ = 0; 9) Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

2)(xm)¢ = mxm-1; 10) Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

3) Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru 11) Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

4) Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru 12) Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

5) Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru 13) Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

6) Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru 14) Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

7) Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru 15) Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

8) Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru 16) Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Производная сложной функции.

Теорема.Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Тогда Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Доказательство.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

( с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

Тогда Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Теорема доказана.

Логарифмическое дифференцирование.

Рассмотрим функцию Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru .

Тогда (lnïxï)¢= Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru , т.к. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru .

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Учитывая полученный результат, можно записать Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru .

Отношение Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru называется логарифмической производной функции f(x).

Способ логарифмического дифференцированиясостоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных и показательно-степенных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.

Производная показательно- степенной функции.

Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.

Найдем производную функции y = uv. Логарифмируя, получим:

lny = vlnu

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Пример. Найти производную функции Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru .

По полученной выше формуле получаем: Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Производные этих функций: Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Окончательно:

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Производная обратных функций.

Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

т.к. g¢(y) ¹ 0 Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

Пример. Найти формулу для производной функции arctg.

Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Известно, что Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

По приведенной выше формуле получаем:

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Т.к. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.

Производная функции, заданной параметрически.

Пусть Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Предположим, что эти функции имеют производные и функция x = j(t) имеет обратную функцию t = Ф(х).

Тогда функция у = y(t) может быть рассмотрена как сложная функция y = y[Ф(х)].

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

т.к. Ф(х) – обратная функция, то Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Окончательно получаем: Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Таким образом, можно находить производную функции, не находя непосредственной зависимости у от х.

Пример. Найти производную функции Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Способ 1: Выразим одну переменную через другую Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru , тогда

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Способ 2: Применим параметрическое задание данной кривой: Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru .

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

x2 = a2cos2t; Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru


Лекция 4. Дифференциал функции одной переменной. Основные теоремы дифференциального исчисления. Применение основных теорем дифференциального исчисления.Понятие дифференциала функции. Свойства дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Механический смысл дифференциала. Формула Тейлора. Применение формулы Тейлора к вычислению значений функции. Применение дифференциала к приближённым вычислениям. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Формула конечных приращений. Правило Лопиталя.

Дифференциал функции.

Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Тогда можно записать: Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru , где a®0, при Dх®0.

Следовательно: Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.

Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

dy = f¢(x)dx.

Можно также записать: Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru y

f(x)

K

dy

M Dy

L

a

x x + Dx x

Из треугольника DMKL: KL = dy = tga×Dx = y¢×Dx

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

Свойства дифференциала.

Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

1) d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv

2) d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu

4) Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Дифференциал сложной функции.

Инвариантная форма записи дифференциала.

Пусть y = f(x), x = g(t), т.е. у - сложная функция.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Тогда dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

Однако, если х - независимая переменная, то

dx = Dx, но

если х зависит от t, то Dх ¹ dx.

Таким образом, форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной.

Пример. Найти производную функции Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru .

Сначала преобразуем данную функцию: Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Пример. Найти производную функции Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru .

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Пример. Найти производную функции Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Пример. Найти производную функции Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Пример. Найти производную функции Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Дифференцирование неявно заданных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование - student2.ru

Формула Тейлора.

Наши рекомендации