Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

I. Неопределенность .

Теорема 1. Пусть

1) f и g определены и дифференцируемы в , ;

2) g¢ (x)¹0 ;

3) ;

4) существует конечный или бесконечный .

Тогда существует , т. е. . (1)

Доказательство.

Т. к. f и g дифференцируемы в , то они непрерывны в , кроме, быть может самой точки x₀. Но если положить и , то доопределенные таким образом функции f и g непрерывны в точке x₀, т. е. в . Возьмем . Рассмотрим [x₀;x], если x>x₀ ([x;x₀], если x<x₀). Этот отрезок принадлежит . Функции f и g на [x₀;x] ([x;x₀]) удовлетворяют условиям теоремы Коши. Тогда по этой теореме

, где сÎ[x₀;x] (или сÎ[x;x₀]).

Т. к. f(x₀)=g(x₀)=0, то . (2)

Пусть x®x₀, тогда т. к. сÎ[x₀;x] (или сÎ[x;x₀]), то с®x₀. По условию 4) . Т. к. существует правой части равенства (2), то существует и левой части, равный k. Переходя в (2) к , получим (1).

Рассмотрим случай, когда .

Теорема 2. Пусть

1) f и g определены и дифференцируемы в ;

2) g¢ (x)¹0 ;

3) ;

4) существует конечный или бесконечный .

Тогда существует . (3)

Доказательство.

Используем теорему 1, применим замену . Положим , , .

1) Функции F и G определены и дифференцируемы в ,

, ;

2) G¢ (t)¹0 на ;

3) , ;

4) . (4)

Т. о., функции F и G удовлетворяют условиям теоремы 1. Тогда

. (5)

С другой стороны, . (6)

Из (4)-(6) следует (3).

Из теорем 1 и 2 следует правило Лопиталя раскрытия неопределенностей : предел отношения двух бесконечно малых функций при х®х₀ при выполнении условий 1)-4) теорем 1, 2 равен пределу при х®х₀ отношения производных этих функций.

Пример 1.D . D

Замечание 1. Если условие 4) теорем 1, 2 не выполнено, правило Лопиталя может не действовать: не существует, а может существовать.

Пример 2. D , х₀=0.

Для этих функций в выполнены условия 1)-3) теоремы 1. Но не существует, т.к. не существует . Однако существует .D

Замечание 2. Если производные f¢ и g¢ в окрестности удовлетворяют тем же условиям , что и сами функции (условия 1)-4)), то правило Лопиталя можно применять повторно.

Пример 3.

D

. D

II. Неопределенность .

Теорема 3. Пусть

1) f и g определены и дифференцируемы в , ;

2) g¢ (x)¹0 ;

3) ;

4) существует конечный или бесконечный .

Тогда существует , т. е. .

Из теоремы 3 следует правило Лопиталя раскрытия неопределенностей : предел отношения двух бесконечно больших функций при х®х₀ при выполнении условий 1)-4) теоремы 3 равен пределу при х®х₀ отношения производных этих функций.

Остаются в силе замечания 1, 2.

Пример 4. D Пусть a>1.

а) ;

б) . D

Вывод. Показательная функция a^x (a>1) при растет быстрее, чем степенная xⁿ. Степенная функция xⁿ при растет быстрее, чем логарифмическая log_ax (a>1).

III. Неопределенности вида |0×¥|, |¥-¥|сводятся к неопределенностям вида или : , |¥-¥| - привести к общему знаменателю.

Пример 5. D . D

Пример 6.D

. D

IV. Неопределенности сводятся к |0×¥|, а она к или .

Пример 7.D ;

.

Следовательно, . D

Пример 8. D ;

Значит, . D

Замечание. Важно в случае многократного применения правила Лопиталя не забывать каждый раз проверять, раскрыта ли неопределенность, иначе можно допустить ошибку.

Формула Тейлора

Теорема. Пусть функция f(x) имеет в некоторой окрестности V(a) точки a производные до (n+1)-го порядка включительно. Пусть х – любая точка из V(a), p - произвольное положительное число. Тогда между точками а и х найдется такая точка с, что справедлива формула

, (1)

где , cÎ(a;x) (или cÎ(x;a)). (2)

Формула (1) называется формулой Тейлора с центром в точке а, R_n(x) - остаточный член формулы Тейлора в общей форме.

Доказательство.

Пусть j(x;a) - многочлен n - порядка относительно х правой части формулы (1), т. е.

.

В силу условия j(x;a) существует. Обозначим через R_n(x)=f(x)-j(x;a). Тогда формула (1) будет доказана, если будет установлено, что R_n(x) имеет вид (2). Зафиксируем . Пусть x>a (для x<a доказательство аналогично). На отрезке [a;x] рассмотрим вспомогательную функцию y(t):

, (3)

где , т. е. .

Покажем, что y(t) удовлетворяет условиям теоремы Ролля:

1) y(t) непрерывна на [a;x],

2) y(t) дифференцируема на (a;x),

3) ,

.

Значит, y(a)=y(x). Тогда на основании теоремы Ролля $ cÎ(a;x): y ¢(с)=0. Дифференцируя (3), получим

.

Тогда $ cÎ(a;x): . Следовательно,

. (4)

Тогда из (3), (4) следует

, cÎ(a;x).

Пример.1. Найти разложение по формуле Тейлора многочлена n-й степени

, , .

D fⁿ⁺¹(x)=Pⁿ⁺¹(x)=0 " . Тогда R_n(x)=0 " . Следовательно,

. D

Остаточный член формулы Тейлора в различных формах

Преобразуем формулу (2). Т. к. cÎ(a;x), то существует такое число q, 0<q<1, что c=a+q(x-a) Þ x-c=x-a-q(x-a)=(x-a)(1-q). Тогда

. (5)

Частные случаи.

1) p=n+1 Þ или

, 0<q<1. (6)

(6)– остаточный член в форме Лагранжа (наиболее употребительная форма).

2) p=1 Þ . (7)

(7) – остаточный член в форме Коши.

Замечание 1. В формулах (6) и (7) q, вообще говоря, различны, т. к. эти формулы получены из (2) при различных значениях р, а q зависит от р.

Замечание 2. В некоторых задачах важен лишь порядок R_n(x) относительно (x-a).

Из (6) Þ

Þ (8)

(8) - остаточный член в форме Пеано.

Замечание 3. С помощью формулы Тейлора можно производить приближенные вычисления f(x) с любой степенью точности: f(x)»j(x;a), погрешность равна R_n(x).

Замечание 4. Положим в (1) а=х₀, х-х₀=Dх, х=х₀+Dх, f(x₀+Dx)-f(x₀)=Df(x₀)=Dy.

Тогда . Формула Лагранжа Dy=f(x)-f(x₀)=f¢ (c)Dx является частным случаем формулы Тейлора и получается из нее при n=0. Действительно, при n=0

, 0<q<1.

Формула Маклорена

Полагая в формулах (1), (6)-(8) а=0, получим

-

формула Маклорена;

- форма Лагранжа;

- форма Коши;

- форма Пеано.

Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

1. y=f(x)=e^x, .

, . При x=0 f(0)=f⁽ⁿ⁾(0)=1 Þ

,

где - форма Лагранжа;

- форма Коши;

- форма Пеано.

2. y=f(x)=sinx, .

,

Þ

,

.

3.y=f(x)=cosx, .

, Þ

,

.

4. y=f(x)=ln(1+x), .

. Þ

,

.

5. y=f(x)=(1+x)^m, , .

, ,

,

.

6. Пусть в случае 5 m=n Þ . Тогда

,

Þ

- бином Ньютона.

7. Пусть в случае 5 m=-1 Þ

,

.

Положим здесь х=-х:

.