Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя

Теорема 3.6. (теорема Лопиталя, раскрытие неопределенности вида Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru ).

Пусть функции Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a. Пусть, далее Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru и Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru в указанной окрестности точки a. Тогда, если существует предел отношения производных Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru (конечный или бесконечный), то существует и предел Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru , причем справедлива формула

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru (3.14)

Эту теорему обычно называют правилом Лопиталя.

Замечание 1. Если производные Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru и Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru , то правило Лопиталя можно применить повторно. При этом получаем

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Замечание 2.Теорема остается верной и в случае, когда Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Примеры.Вычислить пределы. Разделим производную числителя на производную знаменателя

1. Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

2. Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Замечание 3.Если в формулировке теоремы заменить требование Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru на условие Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru , то теорема остается справедливой, то есть можем раскрывать неопределенность вида Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru .

Пример

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Вывод: степенная функция Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru - бесконечно большая более высокого порядка, чем логарифмическая функция Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru .

Раскрытие других видов неопределенностей

Неопределенности вида Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru можно свести к неопределенностям Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru Покажем это на примерах. Вычислим следующие пределы, преобразовав на первом шаге исходную функцию:

1. Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Неопределенности вида Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Примеры.Вычислить пределы.

1. Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Но Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru и в показателе степени получена неопределенность вида Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru , получаем Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Рассмотрим Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

окончательно получаем Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

2. Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Рассмотрим

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

окончательно получаем

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Формула Тейлора

Формула Тейлора – одна из главных формул математического анализа, позволяющая функцию, заданную сложным для вычисления аналитическим выражением, заменить удобным для анализа многочленом.

Теорема 3.7.(Тейлора)

Пусть функция Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru имеет в точке a и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Пусть x – любое значение аргумента из указанной окрестности, Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Тогда между точками a и x найдется точка c такая, что справедлива следующая формула:

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru (3.15)

Эта формула называется формулой Тейлора, а Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

остаточный член, записанный в форме Лагранжа.

Эту формулу можно записать в виде Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить функцию Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru многочленом Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Формула Маклорена

При a=0 получаем частный случай формулы Тейлора – формулу Маклорена.

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru (3.16)

Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид: Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Разложение некоторых

Элементарных функций по формуле Маклорена

1. Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Так как Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

то формула Маклорена имеет вид:

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

2. Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Так как Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

то формула Маклорена имеет вид

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

3. Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Так как Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

то формула Маклорена имеет вид:

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

4. Аналогично можно получить:

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Пример

Сколько членов в формуле Маклорена требуется взять для того, чтобы вычислить значение e с точностью Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru (найти n).

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru тогда по формуле Маклорена имеем (x=1):

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

для n=2 Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

для n=3 Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

для n=4 Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

для n=5 Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

для n=6 Раскрытие неопределенности. Правило Лопиталя - student2.ru

Следовательно, если взять n=6, то требуемое неравенство удоволетворяется.

Наши рекомендации