Вычисление пределов по правилу Лопиталя
Этот раздел посвящен одному удобному способу раскрытия неопределённостей вида 
и 
, называемому правилом Лопиталя.
Но сначала следует кратко изложить некоторые необходимые сведения о дифференцируемых функциях.
Определение 8.1.Производной функции 
в точке 
называется предел 
,
если этот предел существует и конечен. Тогда функция называется дифференцируемой в точке 
Геометрический смысл производной.Производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции и характеризует скорость изменения функции.
Теорема 8.1.Если функциядифференцируема, то она непрерывна.
Замечание 8.1.Из непрерывности функции не следует её дифференцируемость.
График дифференцируемой функции является гладкой кривой.
Теорема 8.2.Справедливы следующие правила дифференцирования суммы, разности, произведения и отношения: 
.
Поскольку из определения производной следует, что производная константы равна нулю, то из правила дифференцирования произведения вытекает
Следствие 8.1. 
, где 
- константа.
Справедливо следующее правило дифференцирования сложной функции.
Теорема 8.2.Пусть 
, где 
, причём 
и 
. Тогда 
.
Нижний индекс указывает переменную дифференцирования.
-26-
Приведём таблицу производных основных элементарных функций.
1) 
; 2) 
; 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
; 6) 
; 7) 
; 8) 
; 9) 
;
; 11) 
.
.
Теорема 8.3 (Лопиталь).Пусть предел 
является неопределённостью вида или , причём функции 
и 
дифференцируемы в окрестности точки 
кроме, быть может, самой точки , и 
. Пусть существует предел 
Тогда существует и предел , причём 
Замечание 8.2.Величины и 
могут быть и бесконечными.
Замечание 8.3.Если предел 
является неопределённостью вида или и функции 
удовлетворяют условиям теоремы 8.3, то можно опять применить правило Лопиталя, т.е. 
.
Замечание 8.4.В теореме 8.3 утверждается, что из существования предела следует существование предела и их равенство. Но возможно, что предел не существует, а предел
существует.
Пример 8.1. 
не существует.
-27-
Замечание 8.5.Поскольку правило Лопиталя применимо только к неопределённостям вида и , то при повторном применении правила Лопиталя следует проверять, осталась ли неопределённость. Иначе можно получить неверный ответ.
Пример 8.2. 
(см. (5.1).
Заметим, что предел 
ранее был вычислен без применения правила Лопиталя (см. доказательство (6.10)).
Заметим, что часто, прежде чем применять правило Лопиталя, бывает целесообразно бесконечно малую заменить на эквивалентную.
Пример 8.3. 
При дифференцировании знаменателя получится громоздкое выражение, тем более, при повторном дифференцировании. Но в силу (6.1), (6.4) и (6.5)
, и тогда 
, т.е. с точностью до коэффициента 
этот предел совпадает с пределом, рассмотренным в примере 8.2.
Пример 8.4. 
Нетрудно понять, что, применяя 
раз правило Лопиталя, можно доказать, что 
для любого натурального . Т.е. экспонента растёт быстрее любой степени.
Пример 8.5. 
Аналогичным образом можно доказать, что 
0 для любого положительного 
. Т.е. логарифм растёт медленнее любой сколь угодно -28-
малой положительной степени.
Пример 8.6. 
Поскольку правило Лопиталя применимо только к неопределённостям вида и , то нужно представать предел следующим образом: 
Тогда 
Аналогичным образом можно доказать, что 
для любого положительного 
Пример 8.7. 
.
В силу логарифмического тождества 
. Тогда 
=1 (см. пример 8.5).
Пример 8.8. 
.
Поступив так же, как в примере 8.7, в силу примера 8.6 получим:
= 
=1.
Варианты контрольных заданий.
Вариант 1
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1. 
2. 
3. 
4. 
. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
-29-
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
. 11. 
.
Вариант 2
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1. 
2. 
3. 
4. 
. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
. 11. 
.
Вариант 3
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1. 
2. 
3. 
4. 
. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. . 11. 
Вариант 4
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1. 
2. 
3. 
-30-
4. 
. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
. 11. 
Вариант 5
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1. 
2. 
3.
4. 
. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
. 11. 
Вариант 6
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1. 
2. 
3. 
4. 
. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
. 11. 
-31-
Вариант 7
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1. 
2. 
3. 
4. 
. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
. 11. 
Вариант 8
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1. 
2. 
3. 
4. 
. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
. 11. 
Вариант 9
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1. 
2. 
3. 
.
-32-
4. 
. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
.
11. 
Вариант 10
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1. 
2. 
3. 
4. 
. 
.
7. 
. 8. . 9. 
.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
. 11. 
Вариант 11
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1. 
2. 
3. 
4. 
. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
.
-33-
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
. 11. 
Вариант 12
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1. 
2. 3. 
4. 
. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
. 11. .
Вариант 13
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1. 
2. 
3. 
4. 
. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
. 11. 
.
Вариант 14
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя: -34-
1. 
2. 
3. 
4. 
. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
. 11. 
.
Вариант 15
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1. 
2. 
3. 
4. 
. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
.
11. 
.
Вариант 16
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1. 
2. 
3. 
4. 
. 
.
-35-
7. 
. 8. 
. 9. 
.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
.
11. 
.
Вариант 17
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1. 
2. 
3. 
4. 
. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
.
11. 
.
Вариант 18
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1. 
2. 
3. 
4. 
. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
. -36-
11. 
.
Вариант 19
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1. 
2. 
3. 
4. 
. 
.
7. 
. 8 
. 9. 
.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
.
11. 
.
Вариант 20
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1. 
2. 
3. 
4. 
. 
.
7. 
. 8 
. 9. 
.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
.
11. 
.
-37-
Вариант 21
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1. 
2. 
3. 
4. 
. 
.
7. 
. 8 
. 9. 
.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
.
11. 
.
Вариант 22
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1. 
2. 3. 
4. 
. 
.
7. 
. 8 
. 9. 
.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
.
11. 
.
Вариант 23
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
-38-
1. 
2. 
3. 
4. 
. 
.
7. 
. 8 
. 9. 
.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
.
11. 
.
Вариант 24
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1. 
2. 
3. 
4. 
. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
. 11. 
Вариант 25
Расписать на языке 
.
Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
1. 
2. 
3. 
4. 
. 
.
7. . 8. 
. 9. 
. -39-
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:10. 
. 11. 
.
-40-
Литература
1.Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, часть 1 изд. «Лань» 2008 год.
2. Берман Г.Н. Решебник к сборнику задач по курсу математического анализа. Изд. «Лань». 20011 год
-41-
-40-