Несобственные интегралы по неограниченному промежутку

(несобственные интегралы первого рода)

Пусть функция f(x) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при называется несобственным интегралом функции f(x) от a до и обозначается .

Итак, по определению, . Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.

Пример 1.

;

этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.

Пример 2. ; следовательно, интеграл сходится и равен .

Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом интегрирования определяется интеграл в пределах от до b : и в пределах от до : . В последнем случае f(x) определена на всей числовой оси, интегрируема по любому отрезку; c - произвольная (собственная) точка числовой оси; интеграл называется сходящимся, если существуют и конечны оба входящих в определение предела. Существование конечных пределов и их сумма не зависят от выбора точки c.

Пример 3.

. Интеграл сходится.

Пример 4. следовательно, интеграл сходится и равен .

Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла.

Символом будем обозначать ; символом - соответственно, ; тогда можно записать

, , ,

подразумевая в каждом из этих случаев существование и конечность соответствующих пределов.

Теперь решения примеров выглядят более просто: - интеграл сходится; - интеграл расходится.

Для несобственных интегралов применимы формулы интегрирования по частям и замены переменной:

при замене переменной несобственный интеграл может преобразовываться в собственный.

Несобственные интегралы от неограниченных функций

(несобственные интегралы второго рода)

Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b], интегрируема по любому отрезку , и имеет бесконечный предел при . Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b] называется предел . Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится.

Пример 5. - интеграл расходится;

Пример 6.

- интеграл сходится.

Применение формулы Ньютона-Лейбница.

Если для функции f(x) на полуинтервале (a, b] существует первообразная F(x), то

, и сходимость интеграла определяется наличием или отсутствием конечного предела . Будем писать просто , имея в виду, что если соответствующий предел конечен, то интеграл сходится, в противном случае - расходится.

Пример 7. интеграл сходится.

Пример 8. ; интеграл расходится.

Задание для самостоятельной работы

Вычислите несобственные интегралы:

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8.

Рекомендуемая литература: 11.1[с. 271-282], 1.2[с. 205-212], 2.2[с. 247-250].

Самостоятельная работа №8

Тема: Частные производные функций нескольких действительных переменных

Цель: закрепление и систематизация знаний по теме «Приложения частных производных».

Время выполнения: 6 часов

Теоретический материал

В природе иногда встречаются процессы, в которых исследуемая величина является функцией двух, трех и т. д. других величин. Так, в термодинамике температура идеального газа T зависит от давления p и объема V. Если каждому набору аргументов …, ставится в соответствие число то говорят, что задана функция n переменных

y = f (x1, x2, …, xn).

Число A называется пределом функции f (x₁, x₂, …, x_n) по подмножеству M области определения функции при (x₁; x₂; …; x_n) → (a₁; a₂; …; a_n), если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что на пересечении δ-окрестности точки A (кроме, быть может, самой точки A) с подмножеством M для всех x = (x₁; x₂; …; x_n) выполняется неравенство

|f (x) – A| < ε.

В этом случае пишут

Пусть функция двух переменных f (x, y) определена в некоторой окрестности точки (x₀; y₀). Пределом функции f (x, y) в точке (x₀; y₀) по направлению l = (cos α, sin α) называется число

где L – луч, выходящий из точки (x₀; y₀) в направлении l.

Пусть функция f (x₁, x₂, …, x_n) определена в окрестности точки a = (a₁; a₂; …; a_n). Рассмотрим функцию одной переменной f (x₁, a₂, …, a_n). Она может иметь производную по своей переменной x₁. Такая производная по определению называется частной производной в точке

Аналогично определяются частные производные функции f по другим переменным. Поскольку при вычислении частных производных все переменные, кроме одной, фиксируются, правила вычисления частной производной точно такие же, как и обычной производной.

Задание для самостоятельной работы

Подготовить сообщение на тему «Приложения частных производных».

Рекомендуемая литература: 1.2[с. 438-439], 2.2[с. 151-166].

Самостоятельная работа №9

Тема: Вычисление двойных интегралов

Цель: формирование умений изменять порядок интегрирования, вычислять двойные интегралы в декартовых координатах.

Время выполнения: 7 часов (для 09.02.03, 09.02.04), 8 часов для (09.02.01)

Теоретический материал

Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл, т. е - результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b.

Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем у постоянным.

Пример 1. Поменять порядок интегрирования:

Решение:

Изобразим область интегрирования.

Итак, х изменяется от 0 до 1, т.е. от прямой х=0 до прямой х=1, а у изменяется от 0 до х, т.е. от прямой у=0 до прямой у=х. Получим:

Рис.8. Область интегрирования .

Интеграл

взят в направлении вдоль оси Оу, изменив направление вдоль оси Ох мы получим:

Объем тела

где - уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

Площадь плоской фигуры

Масса плоской фигуры

Масса плоской фигурыD с переменной плотностью находится по формуле