Несобственные интегралы

Лекция 40. Вычисление определенного интеграла. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Некоторые приложения определенных интегралов. Понятие о несобственных интегралах.

Подстановка в определенных интегралах.

Пусть y = f(x) – непрерывная на промежутке [a; b] оси ox функция, а - непрерывная на промежутке [α; β] функция, имеющая к тому же на [α;β] непрерывную производную (то есть x=φ(t) – непрерывно дифференцируемая на [α; β] функция). Кроме того, будем считать, что когда переменная t меняется от α до β, то переменная x = φ(t) меняется от a до b. Таким образом, φ(α) = b и φ(β) = b. Тогда при вычислении можно совершить подстановку по следующей схеме:

x a b t α β

(1)

Докажем правомочность схемы (1). Пусть

(2)

Здесь F(x) – некоторая первообразная для функции f(x). То есть F΄(x) = f(x). Но тогда, по правилу вычисления производной сложной функции,

(3)

Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница

(4)

Равенство результатов (2) и (4) и доказывает правомочность схемы (1).

Кстати, сравнивая схему (1) вычисления определенных интегралов с помощью подстановки с аналогичной схемой вычисления неопределенных интегралов, можно увидеть и то, что в этих схемах общее, и то, что различно.

Примечание. На практике часто бывает удобнее делать подстановку не вида x = φ(t), а вида t = φ(x).

Вычисление определенных интегралов по частям.

Мы уже знаем, что по частям можно вычислять неопределенные интегралы. Для этого используется уже полученная формула . Но по частям можно вычислять и определенные интегралы. Это делается по внешне похожей формуле (5):

(5)

Здесь и – любыедве непрерывные на [a; b] функции, имеющие на этом промежутке и непрерывные производные и (то есть и - непрерывно дифференцируемые на [a; b] функции).

Докажем формулу (5). Учтем, что

(6)

Функция , стоящая в этом равенстве справа, согласно указанных выше условий для функций и , является непрерывной на промежутке [a; b]. Значит, существует определенный интеграл от нее:

(7)

С другой стороны, согласно (6), функция является первообразной для функции . А значит, по формуле Ньютона-Лейбница получаем:

(8)

Сравнивая (7) и (8), приходим к доказываемой формуле (5).

Пример 1. Вычислить .

Решение:

Использование четности-нечетности подынтегральной функции при вычислении определенных интегралов с симметричными пределами интегрирования.

а) Если f(x) – непрерывная и четная на промежутке [-a; а] функция, то

(9)

б) Если f(x) – непрерывная и нечетная на промежутке [-a; a] функция, то

(10)

Доказательство. Рассмотрим рисунки 1(а) и 1(б), соответствующие случаям (а) и (б) соответственно.

а) Если f(x) – четная на [-a; a] функция, то согласно рис.1(а) и формулы (3) получаем:

б) Если f(x) – нечетная на [a; b] функция, то согласно рис. 1(б) и формулам (3) и (5) получаем:

Пример 2. Упростить, а затем и вычислить

Решение.

Упражнения

1. Вычислить с помощью подходящих подстановок:

а) б) в)

Ответы: а) 1 – ln2; б) ; в) .

2. Вычислить интегрированием по частям:

а) б) ; в)

Ответы: а) б) в) .

3. Вычислить , сделав в этом интеграле сначала подстановку , а затем применив интегрирование по частям.

Ответ:

Несобственные интегралы