Часть 2. элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений
Часть 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Дифференциальные уравнения занимают особое место в математике и имеют многочисленные приложения в большом спектре наук. Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к построению математических моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения.
В дифференциальных уравнениях неизвестная функция содержится вместе со своими производными. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение функций, представляющих собой решения этих уравнений.
В этой части излагаются элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, когда неизвестные функции зависят от одной переменной. Теория дифференциальных уравнений, когда неизвестные функции зависят от нескольких переменных — уравнения в частных производных, является более сложной и представляет специальный раздел математики.
Глава 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Основные понятия
Базовые определения
Определение 1. Уравнение вида
где х — независимая переменная, у и у' — соответственно неизвестная функция и ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.
Примеры дифференциальных уравнений первого порядка:
В случае когда из уравнения можно выразить у', оно имеет вид
Уравнение (9.1) называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. В дальнейшем будем рассматривать уравнения первого порядка именно такого вида. Примеры уравнений, разрешенных относительно производной:
Приведем примеры уравнений, которые можно разрешить относительно производной неизвестной функции у'.
Пример 1. (y')2 = x2 + у2, откуда получаем два уравнения первого порядка у' = ± .
Определение 2. Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = φ(x), определенная на некотором интервале (а, b), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Например, функция у = х2 тождественно обращает в нуль левую часть уравнения ху' — 2х2 = 0 и потому представляет собой решение этого уравнения.
В теории дифференциальных уравнений основной задачей является вопрос о существовании и единственности решения. Ответ на него дает теорема Коши, которую мы приводим без доказательства.
ТЕОРЕМА 1. Пусть дано дифференциальное уравнение (9.1). Если функция f(x,y) и ее частная производная f'y(x,y) непрерывны в некоторой области D плоскости Оху, то в некоторой окрестности любой внутренней точки (x0, у0) этой области существует единственное решение уравнения (9.1), удовлетворяющее условию у = у0 при х = x0.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. В области D содержится бесконечно много интегральных кривых. Теорема Коши гарантирует, что при соблюдении определенных условий через каждую внутреннюю точку области D проходит только одна интегральная кривая. Условия, которые задают значение функции у0 в фиксированной точке x0, называют начальными условиями (условиями Коши) и записывают в такой форме:
Задача нахождения решения уравнения (9.1), удовлетворяющего условию (9.2), называется задачей Коши — из множества интегральных кривых выделяется та, которая проходит через заданную точку (x0, y0) области D.
В ряде случаев, когда условия теоремы Коши не выполнены, через некоторые точки плоскости Оху либо не проходит ни одной интегральной кривой, либо проходит более одной интегральной кривой; эти точки называются особыми точками данного дифференциального уравнения.
Определение 3. Общим решением уравнения (9.1) называется функция у = φ(x, С), удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении постоянной С.
Определение 4. Частным решением уравнения (9.1) в области D называется функция у = φ(х,С0), полученная при определенном значении постоянной С = С0.
Общее решение у = φ(x, С) описывает семейство интегральных кривых на плоскости Оху. Условия Коши (9.2) фиксируют произвольную постоянную С и позволяют выбрать из семейства интегральных кривых уравнения (9.1) одну интегральную кривую у = φ(x,C0), проходящую через заданную точку (x0, y0).
Например, рассмотрим уравнение у' = 2х. Правая часть этого уравнения удовлетворяет условиям теоремы Коши во всех точках плоскости Оху (функции f(x, у) = 2х и f'y(x, у) 0 определены и непрерывны на всей плоскости Оху). Нетрудно видеть, что общим решением уравнения является функция у = х2 + С, где С — произвольная постоянная, описывающая семейство парабол (рис. 9.1). Для отыскания частного решения зададим произвольные начальные условия (9.2) и подставим их в формулу общего решения; получаем, что С = у0 — x02, откуда находим частное решение у = х2 + у0 – х02. Это частное решение выделяет из семейства парабол одну, проходящую через точку (х0, у0).
Неполные уравнения
Определение 6. Дифференциальное уравнение первого порядка (9.1) называется неполным, если функция f явно зависит только от одной переменной: либо от х, либо от у.
Различают два случая такой зависимости.
1. Пусть функция f зависит только от х. Переписав это уравнение в виде
нетрудно убедиться, что его решением является функция
2. Пусть функция f зависит только от у, т.е. уравнение (9.1) имеет вид
Дифференциальное уравнение такого вида называется автономным. Такие уравнения часто употребимы в практике математического моделирования и исследования природных и физических процессов, когда, например, независимая переменная х играет роль времени, не входящего в соотношения, описывающие законы природы. В этом случае особый интерес представляют так называемые точки равновесия, или стационарные точки,— нули функции f(у), где производная у' = 0.
Решение уравнения (9.6) методом разделения переменных приводит к функциональному уравнению для определения неизвестной функции у = φ(x) (или х = ψ(у)):
В общей теории дифференциальных уравнений развита теория качественного анализа, основанная на исследовании характера стационарных точек.
Основные понятия теории
Определение 1. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
где х — независимая переменная, у — искомая функция, у' и у" — соответственно ее первая и вторая производные.
Примеры дифференциальных уравнений второго порядка:
Будем рассматривать уравнения, которые можно записать в виде, разрешенном относительно второй производной:
Как и в случае уравнения первого порядка, решением уравнения (10.1) называется функция у = φ(x), определенная на некотором интервале (а, b), которая обращает это уравнение в тождество. График решения называется интегральной кривой. Имеет место теорема существования и единственности решения уравнения второго порядка.
ТЕОРЕМА 1 (теорема Коши). Пусть функция f(x, у, у') и ее частные производные и , непрерывны в некоторой области D пространства переменных (x, у, у'). Тогда для любой внутренней точки М0(х0, у0, у'0) этой области существует единственное решение уравнения (10.2), удовлетворяющее условиям:
Геометрический смысл этой теоремы (ее доказательство мы не приводим) заключается в том, что через заданную точку (x0, y0) на координатной плоскости Оху проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом y0' касательной (рис. 10.1).
Условия (10.3) называются начальными условиями, а задачу отыскания решения уравнения (10.2) по заданным начальным условиям называют задачей Коши.
Общим решением уравнения (10.2) в некоторой области D называется функция у = φ(х, С1, С2), если она является решением этого уравнения при любых постоянных величинах С1и C2, которые могут быть определены единственным образом при заданных начальных условиях (10.3). Частным решением уравнения (10.2) называется общее решение этого уравнения при фиксированных значениях постоянных С1 и C2: у = φ(х, С10, С20).
Рассмотрим для пояснения уравнение у" = 0. Его общее решение получается при двухкратном интегрировании этого уравнения:
где С1 и C2 — произвольные постоянные. Это решение пред ставляет собой семейство прямых, проходящих в произвольных направлениях, причем через каждую точку плоскости Охy проходит бесконечное число таких прямых. Поэтому для выделения частного решения, проходящего через заданную точку (х0, y0), следует задать еще и угловой коэффициент прямой, совпадающей в данном случае со своей касательной. Например, найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
т.е. нужно найти прямую, проходящую через точку M (l, 2), с угловым коэффициентом, равным единице. Подстановка начальных условий в общее решение уравнения приводит к системе двух линейных уравнений относительно постоянных С1и C2
откуда С1 = 1, C2 = 1. Таким образом, искомое частное решение — это прямая у = х + 1.
Часть 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Дифференциальные уравнения занимают особое место в математике и имеют многочисленные приложения в большом спектре наук. Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к построению математических моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения.
В дифференциальных уравнениях неизвестная функция содержится вместе со своими производными. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение функций, представляющих собой решения этих уравнений.
В этой части излагаются элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, когда неизвестные функции зависят от одной переменной. Теория дифференциальных уравнений, когда неизвестные функции зависят от нескольких переменных — уравнения в частных производных, является более сложной и представляет специальный раздел математики.