Элементы теории дифференциальных уравнений первого порядка

Основные понятия

Уравнение вида

,

где - независимая переменная;

, - неизвестная функция и её производная,

называется дифференциальным уравнением первого порядка.

В случае, когда из уравнения можно выразить , оно имеет вид

.

Уравнение называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Например:

, , .

Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Решение, заданное в неявном виде , называется интегралом дифференциального уравнения.

Например, функция является решением дифференциаль­ного уравнения , так как .

Теорема Коши (о существовании и единственности решения)

Если функция и её частная производная непрерывны в некоторой области плоскости , то в некоторой окрестности любой внутренней точки этой области существует единственное решение уравнения , удовлетворяющее условию при .

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Теорема Коши гарантирует, что при соблюдении определённых условий через каждую внутреннюю точку области проходит только одна интегральная кривая.

Условия, которые задают значение функции в точке , называют начальными условиями и записывают

или .

Задача нахождения решения , удовлетворяющего условию , называется задачей Коши.

Общим решением уравнения называется функция , удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении .

Частным решением называется функция , полученная при определённом значении .

Уравнение , неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения .

Уравнение , где - некоторое конкретное значение постоянной , называется частным интегралом.

Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида

,

где и - непрерывные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.

Запишем производную в эквивалентной форме как отношение дифференциалов , тогда

.

Для отыскания решения этого уравнения необходимо разделить в нём переменные. Умножим обе части уравнения на и поделим на , полагая, что , имеем

.

Теперь левая часть уравнения содержит только переменную , а правая – только . Интегрируя обе части этого уравнения, получим

.

Таким образом, найден общий интеграл уравнения .

Пример 26. Найти частное решение дифференциального уравнения при начальных условиях .

Решение

Перепишем данное уравнение в виде

.

Функция является решением уравнения. Остальные решения найдём, разделив переменные в уравнении и проинтегрировав его:

Так как ранее найденное решение можно получить из последнего соотношения, положив , то

- общее решение.

Из условия находим

.

Частное решение имеет вид

.