Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений вида , где - искомые функции, называется нормальной системой дифференциальных уравнений. Число называется порядком системы. Совокупность функций , ,…, обращающих каждое уравнение системы в тождество, называется решением этой системы.

Условия , ,…, , где , , ,…, - заданные числа, называются начальными условиями. Задача нахождения решения нормальной системы уравнений, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

Общим решением нормальной системы ДУ называется решение:

, ,…, ,

зависящее от произвольных постоянных , такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянных можно получить решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям ,…, . Общее решение, заданное в неявном виде , называется общим интегралом системы.

Частным решением системы называется решение , ,…, , получаемое из общего при конкретных значениях постоянных . Если для искомого частного решения системы заданы начальные условия ,…, и известно общее решение ,,…, системы, то значения произвольных постоянных определяются, если это возможно, из системы уравнений .

Нормальные системы ДУ с небольшим числом уравнений решают методом исключения неизвестных функций приводя их к одному дифференциальному уравнению -го порядка или к нескольким уравнениям порядка, меньшего чем .

Для нахождения решения, например, нормальной системы двух уравнений , , где , - неизвестные функции независимой переменной поступают следующим образом. Сначала дифференцируют по первое из уравнений системы и получают уравнение . Затем определяют из первого уравнения системы и подставляют найденное выражение в уравнение . В результате получают ДУ второго порядка относительно неизвестной функции , решая которое находят , где и -произвольные постоянные. Подставляя в формулу , определяют функцию . Совокупность функций , даёт общее решение системы.

Однородной линейной системой уравнений с постоянными коэффициентами называется система вида или, в матрично-векторной записи , где - матрица системы, - постоянные коэффициенты, - вектор неизвестных функций .

Для построения общего решения однородной линейной системы достаточно знать линейно независимых частных решений:

.

Такая система решений называется фундаментальной.

Если известна фундаментальная система решений (ФСР), то их линейная комбинация , где - произвольные постоянные, представляет собой общее решение однородной линейной системы дифференциальных уравнений.

Основным методом построения фундаментальной системы решений является метод Эйлера. Согласно этому методу частное решение системы ищут в виде , где -собственное число матрицы , определяемое как корень характеристического уравнения ; - какой-нибудь собственный вектор этой матрицы, соответствующий числу и определяемый как ненулевое решение системы линейных алгебраических уравнений .

Каждому из собственных чисел матрицы , являющихся корнями характеристического уравнения, соответствует хотя бы одно частное решение указанного вида, при этом возможны следующие случаи:

1) Если - действительный простой корень характеристического уравнения, то ему в ФСР соответствует одно частное решение , где - какой-нибудь собственный вектор матрицы , соответствующий числу .

2)Если - пара комплексно-сопряжённых простых корней характеристического уравнения, то ей в ФСР соответствует два линейно независимых частных решения , , где - комплексный собственный вектор матрицы , соответствующий комплексному собственному числу .

3) Если - действительный корень кратности характеристического уравнения, то соответствующее ему решение, содержащее произвольных постоянных и входящее в общее решение исходной системы, ищется в виде произведения векторного многочлена степени на : . Чтобы найти векторные коэффициенты , надо подставить данное решение в систему . Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой частях уравнений системы, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных координат векторов , причём среди координат этих векторов координат являются произвольными и полагаются равными , а остальные выражаются через них.

В задачах 9.245-9.252найти методом исключения общие решения однородных систем дифференциальных уравнений:

9.245 9.246

9.247 9.248

9.249 9.250

9.251 9.252

В задачах 9.253-9.258 найти общие решения следующих однородных систем уравнений (для облегчения работы в задачах указаны корни характеристического уравнения):

9.253 9.254

9.255 9.256

9.257 9.258

В задачах 9.259-9.262 найти методом исключения общие решения следующих неоднородных систем уравнений:

9.259 . 9.260 .

9.261 . 9.262 .

Решение нормальной системы ДУ , , определённое при всех называется устойчивым по Ляпунову, если для любого существует такое, что для всякого решения той же системы, значения которого в точке удовлетворяют неравенствам , , при всех справедливы неравенства , . Если решение не только устойчиво, но и при условии , , удовлетворяет соотношению , , то это решение называется асимптотически устойчивым.

Если система дифференциальных уравнений описывает некоторое движение, то в случае устойчивости решений характер движений мало изменяется при малом изменении начальных данных.

Вопрос об устойчивости решения системы , , сводится к вопросу об устойчивости нулевого решения (точки покоя) другой системы, получаемой из данной с помощью замены , .

Точкой покоя системы , , где функции , - непрерывно дифференцируемы, называется такая точка, в которой и .

Точкой покоя системы двух однородных ЛДУ с постоянными коэффициентами , , является начало координат , т.е. нулевое решение данной системы. Для исследования точки покоя такой системы, надо найти корни и характеристического уравнения системы и в зависимости от вида корней, определить характер точки покоя, в соответствие с приведённой в таблице их классификацией.

Корни ,	Характер точки покоя	Устойчивость точки покоя
Действительные и различные:	,	Устойчивый узел (рис. a)	Асимптотически устойчива
,	Неустойчивый узел (рис. a)	Неустойчива
Разных знаков	Седло (рис. б)	Неустойчива
Комплексно-сопряжённые:	,	Устойчивый фокус (рис. в)	Асимптотически устойчива
,	Неустойчивый фокус (рис. в)	Неустойчива
,	Центр (рис.г)	Устойчива
Действительные и равные		Устойчивый вырожденный узел (рис. д)	Асимптотически устойчива
	Неустойчивый вырожденный узел (рис. д)	Неустойчива
Действительные и равные (для системы , )		Устойчивый дикритический узел (рис. е)	Асимптотически устойчива
	Неустойчивый дикритический узел (рис. е)	Неустойчива

Если система , описывает движение точки , то интегральные кривые называют траекториями движения точки. В случае устойчивого узла и фокуса точка , двигаясь по траекториям, неограниченно приближается к началу координат при , и неограниченно удаляется от него в противном случае.

В задачах 9.263-9.272определить характер точек покоя следующих систем дифференциальных уравнений.

9.263 9.264

9.265 9.266

9.267 9.268

9.269 9.270

9.271 9.272

Однородная линейная система уравнений с постоянными коэффициентами , , где называется системой уравнений первого приближения для системы , . При этом справедливо следующее утверждение: если все корни характеристического уравнения системы первого приближения имеют отрицательные действительные части, то её точка покоя, а также исходной системы асимптотически устойчива; если хотя бы один из корней характеристического уравнения системы первого приближения имеет положительную действительную часть, то её точка покоя, а также исходной системы неустойчива. Если же среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы одно с нулевой действительной частью, а остальные – с отрицательной, то в этом случае исследование на устойчивость по первому приближению невозможно, так как начинает сказываться влияние членов второго порядка малости относительно .

В задачах 9.273-9.278исследовать на устойчивость по первому приближению нулевое решение следующих систем:

9.273 9.274

9.275 9.276

9.277 9.278

В задачах 9.279-9.280исследовать, при каких значениях параметра асимптотически устойчиво нулевое решение:

9.279 9.280

Разностные уравнения.

Если неизвестная функция и заданная функция являются функциями одного целочисленного аргумента , то уравнение вида , , где - постоянные коэффициенты, называется линейным разностным уравнением (ЛРУ) го порядка с постоянными коэффициентами. Если , то уравнение называется однородным.

Функция , , обращающая разностное уравнение в тождество, называется его решением.

Условия , ,…, , где , ,…, - заданные числа, называются начальными условиями.

Общим решением РУ -го порядка называется решение , зависящее от произвольных постоянных , такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянных можно получить решение , удовлетворяющее заданным начальным условиям , ,…, . Частным решением называется решение , получаемое из общего при конкретных значениях постоянных .

Общее решение однородного ЛРУ -го порядка ищется, аналогично общему решению дифференциального уравнения , в виде , где - фундаментальная система его решений; - произвольные постоянные.

Фундаментальной системой решений однородного ЛРУ -го порядка называется любая система из линейно независимых частных решений , ,…, этого уравнения.

Фундаментальная система решений строится на основе характера корней характеристического уравнения . А именно: 1) если - действительный простой корень характеристического уравнения, то ему в ФСР соответствует частное решение разностного уравнения; 2)если - действительный корень кратности , то ему в ФСР соответствует линейно независимых частных решений: , , ,…, ; 3) если - пара простых комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения, то ей в ФСР соответствует два линейно независимых частных решения: , , где , .

Общее решение неоднородного линейного разностного уравнения имеет вид , где - общее решение соответствующего однородного разностного уравнения, - какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения.

Как и в случае дифференциальных уравнений, частное решение разностного уравнения с правой частью специального вида ищется методом неопределённых коэффициентов в виде , где , если число , для которого и , не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степени соответственно являются: , , , ,…. Для нахождения коэффициентов многочленов и , надо подставить решение в неоднородное разностное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.

В задачах 9.281-9.288 найти общие решения следующих однородных разностных уравнений:

9.281 .

9.282 .

9.283 .

9.284 .

9.285 .

9.286 .

9.287 .

9.288 .

В задачах 9.289-9.292 найти частные решения разностных уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

9.289 .

9.290 .

9.291 ,

.

9.292 .

В задачах 9.293-9.308 найти общие решения следующих неоднородных разностных уравнений

9.293 .

9.294 .

9.295 .

9.296 .

9.297 .

9.298 .

9.299 .

9.300 .

9.301 .

9.302 .

9.303 .

9.304 .

9.305 .

9.306 .

9.307 .

9.308 .

В задачах 9.309-9.312 найти частные решения разностных уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

9.309

.

9.310 .

9.311 .

9.312 .

По аналогии с нормальными системами дифференциальных уравнений рассматриваются также и нормальные системы разностных уравнений вида , где - искомые функции, - заданные функции целочисленного аргумента , . Число называется порядком системы. Совокупность функций , ,…, обращающих каждое уравнение системы в тождество, называется решением этой системы.

Условия , ,…, , где , ,…, - заданные числа, называются начальными условиями.

Общим решением системы РУ -го порядка называется решение:

, ,…, ,

зависящее от произвольных постоянных , такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянных можно получить решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям , ,…, .

Частным решением системы называется решение , ,…, , получаемое из общего при конкретных значениях постоянных .

Нормальные системы разностных уравнений аналогично системам дифференциальных уравнений можно решать методом исключения неизвестных функций приводя их к одному разностному уравнению -го порядка. Для нахождения решения, например, системы двух разностных уравнений , где , - неизвестные функции целочисленного аргумента поступают следующим образом. Сначала, используя первое из уравнений системы, получим уравнение , в которое затем подставим второе уравнение системы , с учётом выражения , найденного из первого уравнения системы. В результате получим разностное уравнение 2-го порядка относительно неизвестной функции , решив которое найдём функцию , где , - произвольные постоянные. Подставив в формулу , определим функцию . Совокупность функций , даёт общее решение системы.

В задачах 9.313-9.320найти методом исключения решения следующих систем разностных уравнений:

9.313 . 9.314 .

9.315 . 9.316 .

9.317 . 9.318 .

9.319 .

9.320 .