Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

Задача №1: Определить площадь фигуры, построенной на отрезке оси абсцисс и ограниченной функцией , принимающей отрицательные значения при рассматриваемых значениях аргумента: при .

Решение:

Площадь данной фигуры равна площади криволинейной трапеции, симметричной данной фигуре относительно оси абсцисс. Криволинейная трапеция ограничена графиком функции, симметричным графику функции относительно оси Ох, т. е. графиком функции .

Справка: График функции получается симметричным отображением графика функции относительно оси Ох.

Вывод: Площадь фигуры, ограниченной отрицательной функцией на отрезке оси абсцисс вычисляется по формуле:

Замечание:Площадь фигуры, построенной на отрезке оси абсцисс и ограниченной непрерывной функцией , принимающей неотрицательные (отрицательные) значения при рассматриваемых значениях аргумента, вычисляется по формуле: .

Пример: Вычислить площадь фигуры, построенной на отрезке оси абсцисс и ограниченной функцией .

Решение:

Фигура не является криволинейной трапецией, так как при .

Воспользуемся формулой: ;

.

Ответ:

Задача №2: Определить площадь фигуры, построенной на отрезке оси абсцисс и ограниченной функцией , пересекающей ось абсцисс внутри рассматриваемого отрезка:

1) при ; при (Рис. 1.);

2) при ; при (Рис. 2.).

Рис. 1. Рис. 2.

Решение:

1) Фигура не является криволинейной трапецией, так как функция, её ограничивающая, принимает и отрицательные и неотрицательные значения при рассматриваемых значениях аргумента. .

- площадь фигуры, ограниченной функцией при : .

- площадь кр. тр., ограниченной функцией при : .

2) Фигура не является криволинейной трапецией, так как функция, её ограничивающая, принимает и отрицательные и неотрицательные значения при рассматриваемых значениях аргумента. .

- площадь кр. тр., ограниченной функцией при : .

- площадь фигуры, ограниченной функцией при : .

Вывод: Площадь фигуры, построенной на отрезке оси абсцисс и ограниченной функцией , пересекающей ось абсцисс внутри рассматриваемого отрезка, вычисляется по формуле: .

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной функциями: , , , .

Решение: ; - ветви направлены вверх;

; ; ; ;

- вершина параболы;

- ось симметрии параболы;

х					8
у	- 4	- 3

Фигура не является криволинейной трапецией, так как функция принимает отрицательные значения при и неотрицательные значения при . .

- площадь фигуры, ограниченной функцией при , вычисляется по формуле ;

- площадь кр. тр., ограниченной функцией при , вычисляется по формуле ;

Ответ:

Задача №3: Определить площадь фигуры, построенной на отрезке оси абсцисс и ограниченной функциями: при и при , .

Решение:

Фигура не является криволинейной трапецией, так как ограничена двумя функциями. Прямой, проходящей через точку пересечения функций и и параллельной оси ординат, фигура разбивается на части и , являющиеся криволинейными трапециями. .

Задача №4: Определить площадь фигуры, ограниченной функциями и , удовлетворяющими условию при рассматриваемых значениях аргумента .

Решение:

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.