Вычисление площадей плоских фигур

Лекция 7. Несобственные интегралы первого рода. Приложения интегралов: вычисление площадей, длин дуг и объёмов тел

Ранее рассматривались интегралы Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru с конечными пределами Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и от ограниченных функций Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Если хотя бы одно из этих ограничений нарушается, то указанный интеграл будет несобственным. Такие интегралы часто встречаются в приложениях, поэтому перейдём к их изучению.

Несобственные интегралы

Сначала рассмотрим интегралы с бесконечными пределами.

Определение 1.Пусть функция Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru интегрируема на любом отрезке Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Тогда если существует конечный предел Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru то говорят, что интеграл Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru сходится. При этом пишут Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Если же указанный предел не существует или равен бесконечности, то говорят, что интеграл Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru расходится.

Аналогично определяются интегралы

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru ( здесь Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru произвольная конечная точка). Эти интегралы называют несобственными интегралами первого рода. Их геометрический смысл ясен из рис. 11, где площадь Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Теперь рассмотрим интегралы от неограниченных функций.

Определение 2.Если функция Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru не ограничена в окрестности точки Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru (её называют особой точкой ) и является интегрируемой на любом отрезке Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru то по определению полагают Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Если этот предел существует и конечен, то говорят, что интеграл Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru второго рода сходится. В противном случае он называется расходящимся. Аналогичный смысл имеют интегралы (второго рода)

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru ,

где в первом случае точка Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru является особой, а во втором случае точка Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru является особой. Поскольку заменой переменной Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru интеграл второго рода Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru ( Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru особая точка) сводится к интегралу первого рода, то будем изучать только интегралы с бесконечным верхним пределом. Сначала покажем, что эталонный интеграл

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Действительно, имеем

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Переходя здесь к пределу при Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru получаем наше утверждение. С помощью эталонного интеграла можно исследовать сходимость других несобственных интегралов.

Теорема сравнения 1.Пусть функции Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru интегрируемы на произвольном отрезке Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и имеют место неравенства Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Тогда если сходится интеграл Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru то и сходится интеграл Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Если же интеграл Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru расходится, то и расходится интеграл Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Теорема сравнения 2. Пусть функции Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru положительны иинтегрируемы на произвольном отрезке Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Пусть, кроме того, существует предел Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Тогда интегралы Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru сходятся или расходятся одновременно.

Замечание 1. При примененииэтих теорем часто используется таблица эквивалентных бесконечно малых:

Если Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru при Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru то при Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru верны следующие соотношения:

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru const.

Например, интеграл Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru сходится, так как Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и интеграл Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru сходится (см. эталонный интеграл( Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru ) и теорему сравнения 2).

Отметим, что теоремы сравнения верны лишь для неотрицательных подынтегральных функций. Если эти функции не являются знакопостоянными, то вводят понятие абсолютной сходимости: говорят, что интеграл Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru сходится абсолютно, если сходится интеграл Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Если последний интеграл расходится, а сам интеграл Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru сходится, то его называют условно сходящимся интегралом. Нетрудно показать, что из сходимости интеграла Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru вытекает обычная сходимость интеграла Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Обратное, вообще говоря, неверно. Можно показать, например, что интеграл Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru сходится, а интеграл Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru расходится. Тем не менее, при исследовании сходимости интегралов от знакопеременных функций изучают сначала их абсолютную сходимость (здесь можно применить теоремы сравнения), а затем – условную сходимость.

Например, рассмотрим интеграл Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Здесь подынтегральная функция изменяет знак на полуинтервале Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , поэтому применить к нему теоремы сравнения нельзя. Рассмотрим “модульный” интеграл Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Здесь подынтегральная функция неотрицательна, и поэтому к этому интегралу можно применить теорему сравнения 1:

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Так как интеграл Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru сходится, то и интеграл Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru также сходится, а, значит, исходный интеграл Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru сходится абсолютно.

Вычисление площадей плоских фигур

Из геометрического смысла определённого интеграла вытекает следующее утверждение.

Теорема 1.Если фигура Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru задана неравенствами Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru где функции Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru непрерывны на отрезке Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru то площадь этой фигуры вычисляется по

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru формуле Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Если фигура ограничена линиями Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru причём функция Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru знакопеременна и непрерывна на отрезке Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru то её площадь равна Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Действительно, фигуру Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru можно перенести параллельно оси Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru вверх и тогда она будет сверху и снизу ограничена линиями

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Поэтому Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Переходя к вычислению площади в полярных координатах, напомним, что любая точка

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru на плоскости вполне однозначно определяется своим полярным радиусом Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и полярным углом Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru (считаем, что началу координат Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru соответствует радиус Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и любой фиксированный полярный угол Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru ). Поэтому любую кривую на плоскости можно задать уравнением Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Переход от декартовых координат точки Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru к полярным осуществляется по формулам

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Теорема 2.Пусть фигура Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru задана в полярных координатах неравенствами Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru причём функция Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru непрерывна на отрезке Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Тогда площадь этой фигуры вычисляется по формуле Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Если фигура описывается неравенствами

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

причём функции Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru непрерывны на отрезке Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru то её площадь вычисляется по формуле Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Площади фигур с замкнутой границей удобно вычислять, если граница задана в параметрической форме.

Теорема 3.Пусть фигура Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru имеет границу Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru заданную параметрически уравнениями

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru причём при возрастании параметра Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru от Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru к Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru обход границы Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru совершается так, что сама область Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru остаётся слева от наблюдателя. Если при этом функции Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru непрерывны на отрезке, то площадь этой фигуры вычисляется по формуле Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru (здесь Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru начало обхода, Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru конец обхода границы Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru ).

3. Вычисление длины дуги

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Пусть на плоскости Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru задана некоторая незамкнутая кривая Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru (см. рис. Р16). Произведём разбиение

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

этой дуги на частичные дуги Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru в каждую из которых впишем хорду Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Тогда получим ломанную Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , вписанную в дугу Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Пусть Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru длина хорды Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Определение 3.За длину дуги Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru кривой Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru принимают предел, к которому стремится периметр ломанной, вписанной в эту дугу, при стремлении длины максимального звена этой ломанной к нулю, т. е. Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Если кривая Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru замкнутая, то разбивают её двумя несовпадающими точками на две незамкнутые кривые Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и тогда

дл. Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru дл. Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru дл. Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Теорема 4. Если дуга Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru задана уравнением Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru где функция Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru непрерывно дифференцируема на отрезке Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru то её длина вычисляется по формуле

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Доказательство. Произведём разбиение Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru отрезка Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru на частичные отрезки Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Это разбиение порождает разбиение Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru дуги Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru частичные дуги Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru По определению 3 имеем Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Длина хорды Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru равна (см. рис. Р17) величине

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

По теореме Лагранжа существует точка Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru такая, что

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

поэтому Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Учитывая это, получаем, что

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Теорема доказана.

Замечание 2.Величина Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru называется дифференциалом дуги Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Учитывая, что Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru её можно записать в виде Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Мы получили теорему Пифагора для криволинейного треугольника с катетами Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и “гипотенузой” Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Теперь формулу (1) для вычисления длины дуги можно записать кратко так: Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Эта форма записи длины дуги особенно удобна, если дуга Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru задана параметрически или в полярной форме. Из неё можно получить следующие утверждения.

Теорема 5. Если дуга Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru задана параметрически уравнениями Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru где функции Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru непрерывно дифференцируемы на отрезке Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru то её длина вычисляется по формуле

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Если дуга Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru задана в полярных координатах уравнением Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru где функция Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru непрерывно дифференцируема на отрезке Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru то её длина вычисляется по формуле Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Действительно, если Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru задана в параметрической форме, то

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Рекомендуем получить формулу длины дуги в полярных координатах самостоятельно.

Например, если дуга Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru задана уравнением Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru то её длина равна

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Вычисление объёмов тел

С помощью определённого интеграла можно вычислять и объёмы тел. Дадим соответствующие формулы.

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Теорема 6.Пусть тело Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru заключено между плоскостями Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru а Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru площадь его поперечного сечения плоскостью Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Если функция Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru непрерывна на отрезке Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru то объем тела Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru вычисляется по формуле

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Доказательство.Произведём разбиение отрезка Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

на частичные отрезки Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и обозначим Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru диаметр разбиения Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Плоскости Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru разобьют тело Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru на тела Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru которые можно приближённо считать прямыми круговыми цилиндрами высотой Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и основаниями – кругами площади Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , где Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru произвольная фиксированная точка отрезка Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru площадь поперечного сечения плоскостью Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru . Объем тела Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru приближённо равен сумме объёмов тел Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru т.е. Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Это равенство будет те точнее, чем мельче разбиение Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , и при Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru оно становится точным, т.е.

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Теорема доказана.

Замечание 3.Если тело Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru получено вращением криволинейной трапеции

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

вокруг оси Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru , то объем этого тела вычисляется по формуле

Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru

Действительно, в этом случае поперечное сечение является кругом радиуса Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru поэтому Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru Аналогично вычисляется объем тела, полученного вращением вокруг оси Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru криволинейной трапеции Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru (конечно, в выписанных формулах для Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru предполагается, что функции Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru и Вычисление площадей плоских фигур - student2.ru непрерывны на соответствующих отрезках).

Наши рекомендации