Вычисление площадей, длин дуг и объемов с помощью определенного интеграла

(21) Вычисление площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции , и прямыми

(22) Вычисление площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, заданной в параметрической форме

(23) Вычисление площади криволинейного сектора, ограниченного графиком непрерывной функции и лучами (в полярных координатах):

(24) Вычисление длины дуги кривой, заданной непрерывной функцией , имеющей непрерывную производную, :

(25) Вычисление длины дуги кривой, заданной функцией в параметрической форме

(26) Вычисление длины дуги кривой, заданной функцией , имеющей непрерывную производную в области определения

(27) Вычисление объема тела вращения, образованного криволинейной трапецией, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной функции и прямыми при вращении вокруг оси ОХ:

(28) Вычисление объема тела через площадь поперечного сечения , перпендикулярного оси ОХ:

(29) Вычисление площади поверхности тела вращения, образованного графиком непрерывной, имеющей непрерывную производную, неотрицательной функции при вращении вокруг оси ОХ в области определения :

(30) Вычисление площади поверхности тела вращения, образованного графиком функции, заданной в параметрической форме

(31) вычисление площади поверхности тела вращения, образованного графиком непрерывной, имеющей непрерывную производную, функции в области определения , при вращении вокруг оси ОХ:

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы 1-го рода

(1) Если непрерывна при , то несобственным интегралом по бесконечному промежутку называют

(2) Если непрерывна при , то

(3)

(4) . При интеграл существует (сходится), при интеграл расходится

(5) признак сходимости и расходимости несобственных интегралов 1-го рода (признак сравнения): если при , то из сходимости следует сходимость , из расходимости следует расходимость

Несобственные интегралы 2-го рода

(6) Если непрерывна при , , то несобственным интегралом от разрывной функции называют

(7) Если непрерывна при , , то

(8) Если непрерывна при , кроме точки то

(9) При интеграл существует (сходится), при интеграл расходится

(10) Признак сходимости и расходимости несобственных интегралов 2-го рода (признак сравнения): если при , то из сходимости следует сходимость , из расходимости следует расходимость

Гамма-функция

(11) сходится при x>0

(12) при

(13)

Значения некоторых несобственных интегралов

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

Литература

Учебники

1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике; Полный курс. — М.: АЙРИС ПРЕСС, 2004. — 608 с.: ил. ISBN 5-8112-0508-2

2. Зайцев, И.А. Высшая математика. — М.: Изд. Дрофа, 2004, — 400 с. ISBN 5-7107-6957-6?5-7107-9071-0

3. Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 2008. — 479 c. ISBN 978-5-06-006050-8

4. Берман А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для ВТУЗов. – М.: Изд. Лань, 2008. — 736 с. ISBN 978-5-8114-1499-5

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.1,2. — М.: НАУКА Главная редакция физико-математической литературы, 1978.

Пособия по решению задач

6. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч. I. Учебное пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Е. Кожевников. – 6-е изд. — М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и образование, 2003. – 304 с., ил. ISBN 5-329-00528-0

7. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч. II. Учебное пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Е. Кожевников. – 6-е изд. — М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и образование, 2003. – 416 с., ил. ISBN 5-329-00528-0

Задачники

8. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. — 3-е изд., испр. и доп. — М.: Айрис-пресс, 2004. — 576 с.: ил. — (Высшее образование). ISBN 5-8112-0552-X

9. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты: Учебное пособие. 6-е изд., стер. / Л.А. Кузнецов. – СПб.: Издательство «Лань», 2005. – 240 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 5-8114-0574-X

10. Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу. — М.: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1986.

11. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. — М.: «Наука», Главная ред. физмат литературы. 1987

Справочники

12. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.– 13-е изд., исправленное./ И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. – М.: Наука, Гл. ред. физ. – мат. лит., 1986.– 544 с.

13. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике. — 14-е изд. / М.Я. Выгодский. — М.: «ДЖАНГАР», «БОЛЬШАЯ МЕДВЕДИЦА», 2001. 864 с. ISBN 57102-0197-9

* При затруднении в ответах на эти вопросы рекомендуем обратиться к теоретической части курса.