Вычисление площадей плоских фигур.

1) Функция Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru неотрицательна и непрерывна на [a, b]. Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru Тогда по геометрическому смыслу определённого интеграла площадь S под кривой Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru на Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru (см. рис.) численно равна определённому интегралу:

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru

2) Функция Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru и непрерывна на Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru . Тогда площадь над кривой Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru на Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru равна

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru

3) Функция Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru общего вида на Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru . Пусть исходный отрезок можно разбить на конечное число интервалов, в каждом из которых Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru имеет постоянный знак или равна нулю (см. рис.):

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru

Тогда площадь фигуры равна

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru

4) Теорема.Пусть на Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru заданы непрерывные функции Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru и Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru Тогда площадь фигуры между кривыми Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru и Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru на Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru равна (см. рис.):

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru

Вычисление объёмов тел вращения.

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru Пусть на Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru задана непрерывная знакопостоянная функция Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru . Объем Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru (см. рис.):

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru

По аналогии можно записать формулу для объёма тела, образованного вращением вокруг оси Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru криволинейной трапеции, образованной линиями Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru :

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru

Приближенное вычисление определённых интегралов.

Использование формулы Ньютона-Лейбница не всегда возможно, поскольку не всегда можно найти первообразную подынтегральной функции. Поэтому на практике используются так называемые численные методы, позволяющие найти приближённое значение интеграла с требуемой точностью. Такой подход предпочтителен ещё и потому, что возможности вычислительной техники непрерывно возрастают.

Рассмотрим один из таких методов – формулу трапеций.Пусть на Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru задана непрерывная неотрицательная функция Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru . Тогда, если отрезок Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru разбить на Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru равных отрезков, каждый длиной Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , формула трапеций имеет вид:

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru ,

где Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru ; Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru

Погрешность формулы трапеций равна

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru

где S(n) – правая часть формулы трапеций, Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru Формула трапеций тем точнее, чем меньше шаг разбиения h.

Тема 13 Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 13. 1 «Дифференциальные уравнения первого порядка»

Учебные вопросы:

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия

2. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

3. «Однородные» уравнения первого порядка

4. Линейные уравнения первого порядка

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия

При рассмотрении неопределенного интеграла решалась задача: найти функцию Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , если Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru (или, что то же самое, Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru ), где Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru – известная функция. Общее решение этой задачи, как уже известно, дается формулой Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , и сводится, таким образом, к вычислению неопределенного интеграла.

Более сложная задача: найти функцию Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , если известно, что она удовлетворяет заданному соотношению вида

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru (5.1)

Такого рода соотношения, связывающие независимую переменную Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , неизвестную функцию Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru и ее производные до некоторого порядка, называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (далее – дифференциальные уравнения или, просто, уравнения). Дифференциальные уравнения позволяют выразить соотношения между изменениями величин, и поэтому имеют большое значение в приложениях.

Решение (интегрирование) дифференциального уравнения (5.1) заключается в отыскании функций (решений, интегралов) Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , которые удовлетворяют этому уравнению для всех значений Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru в определенном конечном или бесконечном интервале Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru . Решения могут быть проверены подстановкой в уравнение.

Пример. Проверить, что все функции вида Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , где Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru – произвольная постоянная, принимающая любые значения от Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru до Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , удовлетворяют дифференциальному уравнению Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru .

◄ Находим первую производную: Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru . Подставляя Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru и Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru в исходное уравнение, получаем тождество Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , т. е. данные функции удовлетворяют уравнению (являются его решениями). ►

Порядок наивысшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого дифференциального уравнения.

Примеры:

· Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru ― уравнение 1-ого порядка,

· Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru ― уравнение 2-ого порядка,

· Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru ― уравнение 5-ого порядка.

Решение простейшего дифференциального уравнения Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru -ого порядка

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru (5.2)

можно получить с помощью Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru интегрирований.

Пример. Найти решение простейшего дифференциального уравнения 3-ого порядка Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru

◄ Интегрируя, последовательно находим:

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru ;

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru ;

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru .

Таким образом, решение данного дифференциального уравнения имеет вид Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , где Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru – произвольные постоянные, никак между собой не связанные. ►

Общее решение дифференциального уравнения порядка Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru имеет вид

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru . (5.3)

где Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru – произвольные постоянные (постоянные интегрирования). При решении дифференциальных уравнений нередко приходят к выражению вида Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , не разрешенному относительно Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru (неявно заданная функция). Такое выражение, неявно задающее общее решение, называют общим интегралом дифференциального уравнения (а собственно интегралы – квадратурами).

Каждый частный выбор постоянных Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru в общем решении (интеграле) дает частное решение (интеграл) дифференциального уравнения.

Пример. Для рассмотренного выше уравнения Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru частными решениями будут

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru .

В задаче Коши (начальной задаче) требуется найти частное решение (интеграл), удовлетворяющее Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru начальным условиям

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , (5.4)

по которым для заданных значений Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru определяются Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru постоянных Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru . В краевой задаче на искомую функцию Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru и ее производные накладываются Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru краевых условий в точках Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru и Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru интервала Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru .

Пример. Найти частное решение уравнения Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , удовлетворяющее при Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru начальным условиям Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru .

◄ Общее решение данного простейшего уравнения получено выше:

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru ;

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru ;

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru .

Подставляя полученные значения постоянных интегрирования в общее решение, получаем искомое частное решение уравнения

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru . ►

График каждого частного решения называется интегральной кривой; совокупность всех таких графиков образует семейство интегральных кривых, зависящее от Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru параметров Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru ( Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru –параметрическое семейство).

Пример. Функция Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru является общим решением уравнения Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , что можно проверить ее подстановкой в это уравнение. Совокупность графиков этой функции при различных значениях постоянной интегрирования Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru образует семейство равносторонних гипербол, асимптотами которых являются оси координат (рис. 5.1).

Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru

Рис. 5.1

Частное решение Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , соответствующее начальному условию Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru , задает гиперболу, проходящую через точку Вычисление площадей плоских фигур. - student2.ru . ►

Наши рекомендации