Вычисление площадей с помощью определенного интеграла

Пусть функция определена и непрерывная на отрезке и пусть, для определенности,

Разобьем отрезок на n частей произвольным образом точками деления: . Выберем на каждом частичном промежутке произвольным образом точки .

Обозначим Составим сумму , которая называется интегральной суммой для функции на отрезке .

Обозначим длину наибольшего частичного промежутка через Перейдем к пределу при .

Если существует конечный предел , не зависящий от способа разбиения отрезка на частичные и выбора на них точек , то он и называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается

Если – любая первообразная для функции , то справедлива формула Ньютона – Лейбница:

,

т.е. для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции нужно составить разность значений произвольной ее первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Пример 1

Если то численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой ,

прямыми и осью ох:

Если меняет знак конечное число раз на отрезке , то интеграл по всему отрезку разбивается на сумму интегралов по частичным отрезкам, интеграл будет положителен там, где и отрицателен, где :

.

Пусть нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и и прямыми , тогда при условии имеем

Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение

у у=х+3     у=х2+1 3       –3 –1 0 2 х

Найдем точки пересечения: ,

.

Контрольная работа № 5. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.

5.1. Найти дифференциал функции .

5.2. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

5.3. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

5.4. Для функции в точке найти градиент и производную по направлению .

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 5 и решение типовых задач

Частные производные функции двух переменных

Переменная z называется функцией двух независимых переменных х и у на некотором множестве точек , если каждой паре значений из множества соответствует определенное значение величины z.

Пишут:

.

С геометрической точки зрения функция представляет собой поверхность.

Если при отношение частного приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента имеет конечный предел, то этот предел называется частной производной функции по независимой переменной х в точке и обозначается , или , или .

Таким образом, по определению

.

Аналогично,

.

Так как вычисляется при неизменном значении переменной у, а – при неизменном значении переменной х, определение частных производных можно сформулировать так: частной производной по х функции называется обычная производная этой функции по х, вычисленная в предположении, что у есть постоянная; частной производной по у функции называется ее производная по у, вычисленная в предположении, что х – постоянная.

Пример 1

Найти частные производные функции .

Решение

Пример 2

Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение

Найдем частные производные

,

.

Подставим найденные выражения в левую часть уравнения:

что и требовалось доказать.