Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.

1. Если на отрезке [a; b] функция Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru , снизу осью 0X, справа и слева прямыми Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru и Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru (рисунок 1), вычисляется по формуле:

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru (4.1)

x
0
a
b
s
y=f(x)
Рисунок 1
y
S
y
x
a
b
y=f(x)
Рисунок 2

2. Если Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru на отрезке [a; b], то площадь фигуры (рисунок 2) вычисляется по формуле:

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru (4.2)

3. Если функция Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru меняет знак на отрезке [a; b], то площадь фигуры (рисунок 3) вычисляется по формуле:

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru , (4.3)

где интегралы по отрезкам, на которых функция отрицательна, берутся по абсолютной величине.

a
d
c
0
Рисунок 3
x
y
b
S
y=f1(x)
y
0
a
b
x
Y=f2(x)
Рисунок 4

4. Если на одном и том же отрезке [a; b] заданы две функции: Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru и Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru , причем Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru для любых Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru то площадь фигуры (рисунок 4) вычисляется по формуле:

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru (4.4)

5. Если фигура ограничена сверху разными линиями, заданными на разных отрезках (рисунок 5), имеющих один общий конец: Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru при Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru и Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru при Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru , то площадь такой фигуры определяется по формуле:

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru (4.5)

y
x
a
b
c
y=f(x)
Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru
Рисунок 5

Задание 6. Вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ruи Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

Решение

Изобразим фигуру, площадь которой надо найти, на координатной плоскости. Графиком функции g(x) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем производную функции Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru . Находим координаты вершины параболы С: Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

Точки пересечения параболы с осями координат:

С осью ох: Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru ;

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru ; Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

C осью оу: х=0; Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

Графиком функции Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru является прямая, которую можно построить по двум точкам с координатами Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

Рисунок 2 к задаче №6

Найдем точки пересечения графиков функций

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru ; Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

Площадь S фигуры ABC, ограниченной графиками функций, находим по формуле Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru .

Где Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru для всех Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

Так как Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru при Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru , то

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

Ответ Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

6. Объем тела, образованного вращением вокруг оси oxкриволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru и прямыми Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru (рисунок 6), равен

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru (4.6)

Рисунок 6
b
0
y
y=f(x)
a
x
y
a
x
Рисунок 7
b

7. Объем тела, образованного вращением вокруг оси oy криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru и прямыми Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru (рисунок 7), равен

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru (4.7)

Несобственные интегралы.

Если функция f(x) непрерывна при Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru , то несобственным интегралам Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru называется Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru . Если этот предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся. В противном случае интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяются интегралы

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

Если функция f(x) непрерывна при Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru и имеет разрыв II рода в точке c, то несобственным интегралом Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru называется

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

Так же, как и выше, несобственный интеграл называется сходящимся, если оба предела существуют и конечны. В противном случае несобственный интеграл называется расходящимся.

Если же точка разрыва находится в конце промежутка, то:

а) при c=a

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

б) при c=b

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

Если при Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru и Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru сходится, то Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru сходится. Такая сходимость называется абсолютной.

Если при Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru и Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru расходится, то Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru расходится.

Если при Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru предел Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru конечен и не равен нулю, то оба интеграла Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru одновременно либо сходятся, либо расходятся.

Аналогичные признаки сходимости можно указать и для несобственных интегралов от разрывных функций.

Р Я Д Ы

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее пособие является кратким изложением свойств бесконечных рядов, а также представление функций в виде бесконечных рядов более простых функций. Последнее делает бесконечные ряды одним из важнейших численных методов в математике и находит широкое практическое применение.

Рядом в математике называется бесконечная сумма чисел или функций, составленная по определенному закону:

u1 + u2 + u3 + … + un+……… (1),

где un - члены ряда; многоточие указывает на то, что выражение (1) не имеет последнего слагаемого, т.е. ряд – бесконечная сумма. Поэтому вместо (1), пользуясь знаком суммы, часто пишут так Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

Числовые ряды

Ряд называется числовым, если члены этого ряда – числа un, которые задаются только функциями номера n, т.е. un= f(n). Последовательно складывая члены ряда, составим (в бесконечном количестве) суммы:

S1 = u1 ,S2 = u1+ u2 , …, Sn= u1+ u2+ u3+…+ un

Их называют частичными суммами ряда.

Конечный или бесконечный предел S частичной суммы Sn ряда (1) при Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru (2)

называют суммой ряда и записывают

S= u1+ u2+ u3+…+ un+… = Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

Если ряд имеет конечную сумму, то его называют сходящимся; в противном случае (т.е. если сумма равна ±¥, либо же суммы вовсе нет) – расходящимся.

Поясним понятие суммы ряда на конкретном примере. Пусть задан числовой ряд

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru (3)

каждый последующий член которого равен половине предыдущего.

Подсчитаем суммы одного, двух, трех, четырех, пяти его членов:

S1 = Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru ,

S2 = Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru ,

S3 = Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru ,

S4 = Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru ,

S5 = Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru .

Значения этих сумм отличаются от 1 на Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru т.е. при увеличении числа слагаемых получаем для их сумм значения все меньше отличающиеся от 1. Поясним сказанное на рис. 1.

  Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru   Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru      
   
Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru  
 
  Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru  
 
 
 
  Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru  
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 1

Прямоугольник площадью в одну квадратную единицу разобьем на два прямоугольника. Один из них вновь разобьем на два прямоугольника одинаковой площади. Продолжая этот процесс деления, получим прямоугольники, площади которых равны Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru квадратных единиц. Объединение этих прямоугольников приближает нас к исходному. Следовательно, и сумма их площадей приближается к площади исходного прямоугольника, т.е. к 1. Число 1 называют суммой ряда (3).

Пример 1.

un= 1, Sn= 1 + 1 + 1 + ¼ + 1 = n, Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

Пример 2.

un= (-1)n, Sn= - 1 + 1 - 1 + 1 – 1 + ¼ + (-1)n.

Такой ряд предела не имеет, т.к. его верхний предел равен 0, а нижний предел равен –1.

Пример 3.

un= u1 qn-1,Sn=u1 +u1q + u1q2 + ¼ + u1qn-1.

Этот ряд – геометрическая прогрессия со знаменателем q – называется геометрическим рядом. Умножим Sn на q и вычтем полученное выражение почленно из Sn

Sn q=u1 q + u1 q2 + u1 q3 + ¼ + u1 qn,

Sn- Sn q=u1- u1 qn, Sn (1-q) = u1 (1-qn).

Для частичной суммы Sn геометрического ряда получаем

Sn=u1 Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

предел которого и представляет сумму геометрического ряда

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

При |q| < 1, Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru и Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru , ряд сходится;

при |q| > 1 ряд геометрической прогрессии расходится;

при q = 1 см. пример 1;

при q = -1 см. пример 2.

Пример 4.

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

Запишем

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

Представим сумму п членов исследуемого ряда в виде:

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru

тогда Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru и Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. - student2.ru Следовательно, ряд сходится.

Наши рекомендации