Точек разрыва I-го и II-го рода

Примеры.

1) Как выбрать число , чтобы была бы непрерывна в точке ?

▲ Функция непрерывна в точке . Найдем . Поэтому .

2) Как выбрать число , чтобы была непрерывна в точке ?

▲ Имеем: .

Функция непрерывна в точке .

Отсюда получаем, что , т.е. .

3) Сформулируем общий принцип построения и решения задач типа 1) и 2). Функция задается формулой:

где – некоторые параметры, – фиксированная точка. Требуется подобрать значения параметров так, чтобы была непрерывна в точке .

▲ Находим односторонние пределы функции в точке :

, .

Для непрерывности в точке необходимо и достаточно, чтобы , т.е.

. (*)

Как правило, функции непрерывны, так что вычисление соответствующих пределов не составляет труда. Из получаемых соотношений (*) находим .

4) Как доопределить функцию в точке , чтобы стала непрерывной в этой точке?

а) ; б) ; в) .

▲ Для непрерывности в точке необходимо и достаточно, чтобы . Поэтому:

а) (произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция);

б) ;

в)

.

5) Исследовать функции на непрерывность.

а) .

▲ Точка – точка разрыва, т.к. функция в ней не определена; это – точка разрыва I-го рода, разрыв устранимый, т.к.

б) .

▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точки . В этой точке – разрыв, т.к. не определена в этой точке. Это точка разрыва I-го рода, причем разрыв неустранимый, т.к.

, .

в) .

▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точек вида , . В этих точках – разрыв, т.к. не определена в них. В точке разрыв I-го рода, причем устранимый, т.к.

.

В точках вида – разрыв II-го рода, т.к.

.

г) .

▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точки . В этой точке разрыв, т.к. не определена в этой точке. В точке – разрыв I-го рода, причем неустранимый, т.к.

, .

д) .

▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точки . В этой точке – разрыв, т.к. не определена в этой точке. В точке – разрыв II-го рода, т.к.

,

.

е) .

▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точки . В этой точке – разрыв, т.к. не определена в этой точке. В этой точке – разрыв I-го рода, причем неустранимый, т.к.

,

.

Задачи для самостоятельного решения

1)Как определить , чтобы была бы непрерывна в точке ?

а) ;

б) ;

в) .

2)Исследовать функции на непрерывность:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) .

Ответы.

1) а) ; б) ; в) .

2) а) – точка разрыва I-го рода, устранимый разрыв;

б) – точка разрыва II-го рода;

в) – точка разрыва I-го рода, неустранимый разрыв;

г) – точка разрыва II-го рода;

д) – точка разрыва I-го рода, неустранимый разрыв;

е) – точка разрыва I-го рода, неустранимый разрыв;

ж) – точка разрыва II-го рода;

з) – точка разрыва II-го рода;

– точка разрыва I-го рода, устранимый разрыв.

Занятие 6.

Контрольная работа №1 по теме "Вычисление пределов функций. Исследование функции на непрерывность".

(Вариант – образец)

I. Вычислить пределы:

1) .

▲ .

2) .

▲ т.к. ~ , ~ при , то

.

3) .

▲ .

4) .

▲

.

5) .

▲

.

II. Исследовать на непрерывность функцию .

▲ Функция непрерывна всюду, кроме точки , т.к. в этой точке функция неопределена. Найдем и определим тип разрыва в этой точке. Имеем: . Следовательно, – точка разрыва II рода.

Литература

1.Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. М.: Айрис-пресс. 2004.

2.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике в 2-х частях, Ч. 1. М.: Айрис-пресс. 2004.

3.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике в 2-х частях, Ч. 2. М.: Айрис-пресс.2004.

4.Сборник задач по высшей математике (с контрольными работами).1 курс. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Основы математического анализа. Комплексные числа. / Лунгу К.Н. и др. М.: Айрис-пресс.2004.

Издание учебное