Классификация точек разрыва

Определение. Точка Классификация точек разрыва - student2.ru называется точкой разрыва I-го рода, если Классификация точек разрыва - student2.ru конечный. Если в точке разрыва I-го рода Классификация точек разрыва - student2.ru , то эта точка называется точкой устранимого разрыва, если же Классификация точек разрыва - student2.ru – то точкой неустранимого разрыва. Точка Классификация точек разрыва - student2.ru называется точкой разрыва II-го рода, если хотя бы один из односторонних пределов Классификация точек разрыва - student2.ru не существует или равен бесконечности.

Геометрическая иллюстрация этих определений:

Классификация точек разрыва - student2.ru

Классификация точек разрыва - student2.ru

Классификация точек разрыва - student2.ru

Примеры:

1) Как выбрать число Классификация точек разрыва - student2.ru , чтобы Классификация точек разрыва - student2.ru была непрерывна в точке Классификация точек разрыва - student2.ru ?

Классификация точек разрыва - student2.ru

▲ Функция Классификация точек разрыва - student2.ru непрерывна в точке Классификация точек разрыва - student2.ru Классификация точек разрыва - student2.ru Классификация точек разрыва - student2.ru .

Найдем Классификация точек разрыва - student2.ru . Поэтому Классификация точек разрыва - student2.ru .

2) Как выбрать число Классификация точек разрыва - student2.ru , чтобы Классификация точек разрыва - student2.ru была непрерывна в точке Классификация точек разрыва - student2.ru ?

Классификация точек разрыва - student2.ru

▲ Имеем: Классификация точек разрыва - student2.ru .

Функция Классификация точек разрыва - student2.ru непрерывна в точке Классификация точек разрыва - student2.ru Классификация точек разрыва - student2.ru Классификация точек разрыва - student2.ru .

Отсюда получаем: Классификация точек разрыва - student2.ru , т.е. Классификация точек разрыва - student2.ru .

3) Сформулируем общий принцип построения и решения задач типа 1) и 2). Функция Классификация точек разрыва - student2.ru задается формулой:

Классификация точек разрыва - student2.ru

где Классификация точек разрыва - student2.ru – некоторые параметры, Классификация точек разрыва - student2.ru – фиксированная точка. Требуется подобрать значения параметров Классификация точек разрыва - student2.ru так, чтобы Классификация точек разрыва - student2.ru была непрерывна в точке Классификация точек разрыва - student2.ru .

▲ Находим односторонние пределы функции в точке Классификация точек разрыва - student2.ru :

Классификация точек разрыва - student2.ru , Классификация точек разрыва - student2.ru .

Для непрерывности Классификация точек разрыва - student2.ru в точке Классификация точек разрыва - student2.ru необходимо и достаточно, чтобы Классификация точек разрыва - student2.ru , т.е.

Классификация точек разрыва - student2.ru (*)

Как правило, функции Классификация точек разрыва - student2.ru непрерывны, так что вычисление соответствующих пределов не составляет труда. Из получаемых соотношений (*) находим Классификация точек разрыва - student2.ru .

4) Как доопределить функцию Классификация точек разрыва - student2.ru в точке Классификация точек разрыва - student2.ru , чтобы Классификация точек разрыва - student2.ru стала непрерывной в точке Классификация точек разрыва - student2.ru ?

а) Классификация точек разрыва - student2.ru ; б) Классификация точек разрыва - student2.ru ; в) Классификация точек разрыва - student2.ru

▲ Для непрерывности Классификация точек разрыва - student2.ru в точке Классификация точек разрыва - student2.ru необходимо и достаточно, чтобы Классификация точек разрыва - student2.ru . Поэтому:

а) Классификация точек разрыва - student2.ru (произведение бесконечно малой функции Классификация точек разрыва - student2.ru на ограниченную функцию Классификация точек разрыва - student2.ru есть бесконечно малая функция);

б) Классификация точек разрыва - student2.ru ;

в) Классификация точек разрыва - student2.ru

Классификация точек разрыва - student2.ru .

Замечание. Для построения задач типа 4) можно взять любую функцию Классификация точек разрыва - student2.ru из раздела "Вычисление пределов", для которой пределу Классификация точек разрыва - student2.ru соответствует неопределенность вида Классификация точек разрыва - student2.ru .

5) Исследовать функцию на непрерывность:

а) Классификация точек разрыва - student2.ru .

▲ Точка Классификация точек разрыва - student2.ru – точка разрыва, т.к. функция в ней не определена; это – точка разрыва I-го рода; устранимого разрыва, т.к.

Классификация точек разрыва - student2.ru

б) Классификация точек разрыва - student2.ru .

▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точки Классификация точек разрыва - student2.ru . В этой точке – разрыв, т.к. Классификация точек разрыва - student2.ru не определена в этой точке. Это точка разрыва I-го рода, причем разрыв неустранимый, т.к.

Классификация точек разрыва - student2.ru , Классификация точек разрыва - student2.ru .

в) Классификация точек разрыва - student2.ru .

▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точек вида Классификация точек разрыва - student2.ru , Классификация точек разрыва - student2.ru Классификация точек разрыва - student2.ru . В этих точках – разрыв, т.к. Классификация точек разрыва - student2.ru не определена в них. В точке Классификация точек разрыва - student2.ru разрыв I-го рода, причем устранимый, т.к.

Классификация точек разрыва - student2.ru .

В точках вида Классификация точек разрыва - student2.ru Классификация точек разрыва - student2.ru – разрыв II-го рода, т.к.

Классификация точек разрыва - student2.ru .

г) Классификация точек разрыва - student2.ru .

▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точки Классификация точек разрыва - student2.ru . В этой точке разрыв, т.к. Классификация точек разрыва - student2.ru не определена в этой точке. В точке Классификация точек разрыва - student2.ru – разрыв I-го рода, причем неустранимый, т.к.

Классификация точек разрыва - student2.ru , Классификация точек разрыва - student2.ru .

д) Классификация точек разрыва - student2.ru .

▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точки Классификация точек разрыва - student2.ru . В этой точке – разрыв, т.к. Классификация точек разрыва - student2.ru не определена в этой точке. В точке Классификация точек разрыва - student2.ru – разрыв II-го рода, т.к.

Классификация точек разрыва - student2.ru ,

Классификация точек разрыва - student2.ru .

е) Классификация точек разрыва - student2.ru .

▲ Функция непрерывна во всех точках, кроме точки Классификация точек разрыва - student2.ru . В этой точке – разрыв, т.к. Классификация точек разрыва - student2.ru не определена в этой точке. В этой точке – разрыв I-го рода, причем неустранимый, т.к.

Классификация точек разрыва - student2.ru ,

Классификация точек разрыва - student2.ru .

Наши рекомендации