Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций:

Найти экстремумы функций:

1) Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru ;

2) Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru ;

3) Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru ;

4) Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru ;

5) Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru ;

6) Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru ;

7) Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru ;

8) Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru ;

9) Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

При каких Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru функция

10) Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru

имеет максимум (минимум)?

Найти наибольшее и наименьшее значение функции Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru . в заданной области Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru :

11) Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru ; Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru – треугольник, ограниченный прямыми Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

12) Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru ; Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru – прямоугольник с вершинами Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

13) Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru ; Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru – круг с центром в точке Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru радиуса Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

Найти Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru и Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru для заданного поля Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , точки Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru и вектора Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru :

14) Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

15) Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

16) Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

Занятие 16.
Контрольная работа №3 по теме «Дифференциальное
исчисление функций двух переменных».
Вариант-образец.

1)Найти Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru для функции Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

Решение.

Найдем Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru и Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru :

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru ;

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

Поэтому

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru

2)Найти Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru для функции Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , заданной неявно уравнением Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

Решение.

Имеем: Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

Найдем Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru и Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru :

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru ;

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

Поэтому:

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

3) Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , а Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru . Найти Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru и Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , используя формулу для производной сложной функции.

Решение.

Имеем:

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

Так как

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru ,

то:

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru

4)Пусть Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru . Найти Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , используя формулы для частных производных сложной функции:

Решение.

Найдем 6 частных производных:

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru

Используем формулы:

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru

Получаем:

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru

5)Исследовать на экстремум функцию

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

Решение.

а)Найдем все частные производные функции Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru до второго порядка включительно:

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

б)Найдем стационарные точки Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru :

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Þ Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Þ

Þ Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru – стационарная точка

в)Составим Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru :

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

Следовательно, в точке Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru есть экстремум.

г)Определим знак Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru : Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

Следовательно, Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru – точка минимума, и

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

Ответ: Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru – точка минимума, Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

Занятие 17.
Метод наименьших квадратов для обработки результатов эксперимента

В естествознании, технике и экономике часто приходится иметь дело с эмпирическими формулами, т.е. формулами, составленными на основе обработки статистических данных или результатов опытов. Одним из широко распространенных приемов построения таких формул является метод наименьших квадратов. Изложим кратко идею этого метода.

Пусть требуется установить зависимость между двумя величинами Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru и Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , например, между стоимостью потребляемого сырья и стоимостью выпущенной продукции.

Произведем обследование Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru видов продукции и представим результаты исследования в виде таблицы:

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru
Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru

Изобразим на координатной плоскости Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru точки Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru с координатами Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru . Предположим, что эти точки располагаются на плоскости около некоторой прямой линии (см. рис.5). Это означает, что между переменными величинами Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru и Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru существует приближенная линейная зависимость вида

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru

при некоторых Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru и Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

Для нахождения Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru применяют метод наименьших квадратов, позволяющий получить оптимальную (в некотором смысле) прямую.

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru

Обозначим yi*=axi+b (i=1,…,n) – значения переменной Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , получаемые при помощи уравнения Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru . Обозначим

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

Величина Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru показывает отклонение расчетного значения переменной Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru (т.е. Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru ) от экспериментального (т.е. от Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru ).

Метод наименьших квадратовподбора Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru и Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru заключается в том, что эти параметры выбираются из условия: сумма Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru – минимальна.

Запишем выражение для Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , учитывая формулы для Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru :

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru

Выберем значения Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru и Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru так, чтобы функция двух переменных u= Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru имела бы в соответствующей точке минимум. Напомним необходимое условие экстремума:

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

Имеем:

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru


Получаем систему уравнений:

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Þ

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru

Решив эту систему уравнений, находим Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru и Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , и затем подставляем их в эмпирическую формулу Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

Предположим теперь, что точки на плоскости располагаются вблизи некоторой параболы, т. е. Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru приближенно зависит от Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru следующим образом:

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru

Тогда:

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru ,

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru

Здесь Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru – функция трех переменных Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

Необходимые условия экстремума

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru

в этом случае принимают следующий вид:

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru

Решая полученную систему уравнений относительно Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , затем построим и само уравнение Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

Пример 1. Темпы роста производительности труда Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru по годам Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru в промышленности республики приведены в таблице, данной ниже. Предполагая, что Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , найти Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru и Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru
Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru

Составим систему уравнений для определения a и b. Для этого сначала найдем следующие величины:

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

Таким образом, имеем следующую систему уравнений относительно a и b:

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru ,

решая которую, получим:

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru ; Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

Итак, уравнение искомой прямой:

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru .

Перечень вариантов
для самостоятельной работы по теме
«Метод наименьших квадратов»

По заданным парам чисел Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии вида

Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru ;

здесь Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru , Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru ; значения Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru приведены ниже (для каждого из 28 вариантов).

Для вычислений рекомендуется использовать калькулятор. Получаемые числа Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru и Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru округлять до второго знака после запятой.

Номер варианта Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru

Ответы

Вариант Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Вариант Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru Задачи для самостоятельного решения. Найти экстремумы функций: - student2.ru
2.11 -4.64 2.11 0.79
2.07 -4.14 2.36 -0.29
2.00 -4.00 2.25 -0.79
2.21 -5.14 2.11 0.64
2.11 -4.64 2.11 1.21
1.75 -2.36 2.11 -0.21
1.79 -3.14 2.25 -0.50
2.75 3.21 3.14 -0.71
2.86 1.43 3.00 0.57
3.00 0.57 3.32 -1.07
2.93 1.71 2.82 1.93
3.04 0.93 2.93 0.14
3.14 0.86 2.79 2.14
2.86 2.00 2.79 0.86

Список литературы

1.Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. М.: Айрис-пресс. 2004.

2.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике в 2-х частях, Ч. 1. М.: Айрис-пресс. 2004.

3.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике в 2-х частях, Ч. 2. М.: Айрис-пресс.2004.

4.Сборник задач по высшей математике (с контрольными работами).1 курс. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Основы математического анализа. Комплексные числа. / Лунгу К.Н. и др. М.: Айрис-пресс.2004.

Издание учебное

Наши рекомендации