Классификация точек разрыва.

Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х0, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х0 является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

Если односторонний предел Классификация точек разрыва. - student2.ru , то функция называется непрерывной справа.

Классификация точек разрыва. - student2.ru Если односторонний предел Классификация точек разрыва. - student2.ru , то функция называется непрерывной слева. Классификация точек разрыва. - student2.ru

Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.

Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы. Классификация точек разрыва. - student2.ru Классификация точек разрыва. - student2.ru

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Классификация точек разрыва. - student2.ru

Если значения на концах разрыва совпадают, то для наличия разрыва нужно, чтобы либо эти совпадающие значения были отличны от значения функции в точке , либо функция в этой точке была вовсе не определена. Если в этом случае переопределить (или доопределить) функцию в точке , то полученная изменённая функция будет уже непрерывна в точке и разрыв в точке исчезнет; отсюда и название такого разрыва -- устранимый.

Классификация точек разрыва. - student2.ru

89. Производная. Определение. Механический и геометрический смысл производной.

Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует. Классификация точек разрыва. - student2.ru

Классификация точек разрыва. - student2.ru

Пусть f(x)определена на некотором промежутке (a, b). Тогда Классификация точек разрыва. - student2.ru тангенс угла наклона секущей МР к графику функции. Классификация точек разрыва. - student2.ru

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой: Классификация точек разрыва. - student2.ru

Уравнение нормали к кривой: Классификация точек разрыва. - student2.ru .

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

Классификация точек разрыва. - student2.ru

90. Дифференцируемость функции. Определение. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение Δy в точке x0 может быть представлено в виде: Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx, где A -- некоторое число, независящее от Δx, а α(Δx)-- бесконечно малая функция от переменной Δx, т.е. limΔx→0α(Δx)=0. Если функция дифференцируема в некоторой точке a, то она непрерывна в этой точке. По определению производнойЭто предельное равенство означает, что выражение под знаком предела можно представить в видегде α(x) – бесконечно малая функция при x → a. Тогда Следовательно, при x → a.

Классификация точек разрыва. - student2.ru

91. Основные правила дифференцируемости.

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ± v)¢ = u¢± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) Классификация точек разрыва. - student2.ru , если v¹ 0

Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Классификация точек разрыва. - student2.ru

92. Производная сложной функции.

Теорема.Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Тогда Классификация точек разрыва. - student2.ru

Доказательство.

Классификация точек разрыва. - student2.ru

Классификация точек разрыва. - student2.ru

( с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

Тогда Классификация точек разрыва. - student2.ru . Теорема доказана.

Наши рекомендации