Классификация точек разрыва

Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке

Функция y = f(x) непрерывна в точке х₀ тогда и только тогда, когда

lim Δy = 0.

Δx → 0

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x₀, если существует односторонний предел

lim f(x) = f(x0). x → x0 + 0

Пусть функция f(x) определена в полуинтервале (x₀ − δ, x₀].

Функция f(x) называется непрерывной слева в точке x₀, если существует односторонний предел

lim f(x) = f(x0). x → x0 − 0

Непрерывность суммы, произведения и частного двух непрерывных функций

Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀, то в этой точке непрерывны

f(x) ± g(x), f(x) · g(x), f(x) g(x) (g(x0) ≠ 0).

Непрерывность сложной функции

Теорема 2. Если функция u(x) непрерывна в точке х₀, а функция f(u) непрерывна в соответствующей точке u₀ = f(x₀), то сложная функция f(u(x)) непрерывна в точке х₀.

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке их областей определения.

Локальные свойства непрерывных функций

Теорема 3(ограниченность непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна в точке x₀, то существует окрестность O(x₀), в которой f(x)ограничена.

Доказательство следует из утверждения об ограниченности функции, имеющей предел.

Теорема 4 (устойчивость знака непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна в точке x₀ и f(x₀) ≠ 0, то существует окрестность точки x₀, в которой f(x) ≠ 0, причем знак f(x) в этой окрестности совпадает со знаком f(x₀).

Классификация точек разрыва

Условие (1) непрерывности функции f(x) в точке x₀ равносильно условию

f(x0 − 0) = f(x0 + 0) = f(x0),

(3)

где f(x ₀ − 0) = lim _{x → x0 − 0 f}(x) и f(x₀ + 0) = lim _{x → x0 + 0}

f(x) — односторонние пределы функции f(x) в точке x₀.

При нарушении условия (3) точка x₀ называется точкой разрыва функции f(x). В зависимости от вида нарушения условия (3) точки разрыва имеют различный характер и классифицируются следующим образом:

1. Если в точке x₀ существуют односторонние пределы f(x₀ − 0), f (x₀ + 0) и

f(x0 − 0) = f(x0 + 0) ≠ f(x0),

то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва функции f(x) (рис. 1).

Замечание. В точке x₀ функция может быть не определена.

2. Если в точке x₀ существуют односторонние пределы f(x₀ − 0), f (x₀ + 0) и

f(x0 − 0) ≠ f(x0 + 0),

то точка x₀ называется точкой разрыва с конечным скачком функции f(x) (рис.2).

Замечание. В точке разрыва с конечным скачком значение функции может быть любым, а может быть и не определено.

Точки устранимого разрыва и конечного скачка называются точками разрыва 1–го рода. Их отличительным признаком является существование конечных односторонних пределов f(x₀ − 0) и
f(x₀ + 0).

3. Если в точке x₀ хотя бы один из односторонних пределов f(x₀ − 0), f (x₀ + 0) равен бесконечности или не существует, то x₀ называется точкой разрыва 2–го рода (рис. 3).

Если хотя бы один из односторонних пределов f(x₀ − 0), f (x₀ + 0) равен бесконечности, то прямая x = x ₀ называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x).

_17.

Арифметические операции над непрерывными функциями.

Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.

Непрерывность суперпозиции функций.

Теор. о непрерывности суммы, произведения, частного. Пусть функции f(x), g(x) непрерывны в точке х0. Тогда в этой точке непрерывны функции f(x)±.g(x), f(x)g(x), (частное - в случае, когда g(х0)¹0). Для примера докажем непрерывность частного. Пусть f(x), g(x) непрерывны в точке х0, т.е. , , причём g(х0)¹0. По теор. существует , и этот предел равен , что означает непрерывность функции в точке х0. Теор. о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки t0 и имеет , равный х0. Пусть точка принадлежит области определения функции y = f(x), и f(x) непрерывна в точке х0. Тогда существует , и .

Док-во. Возьмём "e>0. Так как f(x) непрерывна в точке х0, то $s>0, такое что | х- х0|<sÞ Þ | f(x)- f(x0)|<e. Так как существует = х0, то для s d>0, такое что 0<| t- t0|<d Þ

Þ |j (t)- х0|<s. Таким образом, для "e>0 мы нашли такое d>0, что из 0<| t- t0|<dÞ

Þ | f(x)- f(x0)|= | f(j (t))- f( )|<e, что означает существование предела и равенство этого предела величине .

Теор. о непрерывности суперпозиции непрерывных функций. Пусть функция непрерывна в точке точке t0. Пусть точка принадлежит области определения функции y = f(x), и f(x) непрерывна в точке х0. Тогда сложная функция непрерывна в точке t0.

Док-во непосредственно следует из предыдущей теоремы. Так как j (t) непрерывна в точке t0, то . Поэтому , что и означает непрерывность сложной функции в точке t0.

Односторонние пределы

Пусть переменная x стремится к a, оставаясь больше a, и при этом . Тогда число A называют правосторонним пределом (или пределом справа) функции и обозначают любым из символических выражений

Понятие левостороннего предела (или предела слева) вводится аналогичным образом. В этом случае при x → a со стороны меньших значений:

Для существования обычного (двустороннего) предела функции в точке a необходимо и достаточно равенство между собой односторонних пределов:

Например, в точке x = 3 односторонние пределы функции отличаются друг от друга:

Поэтому в рассматриваемой точке предел функции не существует.

Точки разрыва функции

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.