Точки разрыва, классификация точек разрыва

Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х0, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х0 является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

Если односторонний предел (см. выше) Точки разрыва, классификация точек разрыва - student2.ru , то функция называется непрерывной справа.

 
  Точки разрыва, классификация точек разрыва - student2.ru


х0

Если односторонний предел (см. выше) Точки разрыва, классификация точек разрыва - student2.ru , то функция называется непрерывной слева.

 
  Точки разрыва, классификация точек разрыва - student2.ru


х0

Определение. Точка х0 называется точкой разрывафункции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.

Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Точки разрыва, классификация точек разрыва - student2.ru

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимойточкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.

Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Пример. Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837г)

Точки разрыва, классификация точек разрыва - student2.ru

не является непрерывной в любой точке х0.

Пример. Функция f(x) = Точки разрыва, классификация точек разрыва - student2.ru имеет в точке х0 = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.

Точки разрыва, классификация точек разрыва - student2.ru .

Точки разрыва, классификация точек разрыва - student2.ru Точки разрыва, классификация точек разрыва - student2.ru

Пример. f(x) = Точки разрыва, классификация точек разрыва - student2.ru

Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел Точки разрыва, классификация точек разрыва - student2.ru , т.е. в точке х = 0 функция имеет точку разрыва 1 – го рода. Это – устранимая точка разрыва, т.к. если доопределить функцию:

Точки разрыва, классификация точек разрыва - student2.ru

График этой функции:

Точки разрыва, классификация точек разрыва - student2.ru

Пример. f(x) = Точки разрыва, классификация точек разрыва - student2.ru = Точки разрыва, классификация точек разрыва - student2.ru

Точки разрыва, классификация точек разрыва - student2.ru

Эта функция также обозначается sign(x) – знак х. В точке х = 0 функция не определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва – 1 – го рода. Если доопределить функцию в точке х = 0, положив f(0) = 1, то функция будет непрерывна справа, если положить f(0) = -1, то функция будет непрерывной слева, если положить f(x) равное какому- либо числу, отличному от 1 или –1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа, но во всех случаях тем не менее будет иметь в точке х = 0 разрыв 1 – го рода. В этом примере точка разрыва 1 – го рода не является устранимой.

Таким образом, для того, чтобы точка разрыва 1 – го рода была устранимой, необходимо, чтобы односторонние пределы справа и слева были конечны и равны, а функция была бы в этой точке не определена.

Наши рекомендации