Непрерывность функций. классификация точек разрыва.
Пусть f(x) определена в некоторой области Д, пусть x0ÎR
Ф-я f(x) называется непрерывной в точке x0, если выполнены 2 условия:
1. f(x) определена в точке x0
2. limx->x0f(x) = f(x0)
если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то ф-я f(x) называется разрывной в точке x0 , а сама точка называется точкой разрыва функции.
Функция f(x) называется непрерывной в области Д, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Определение 2. Ф-я f(x) называется непрерывной в точке x0 , если бесконечно малому приращению Dx аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.
Dx Dy
Т.е. f(x0+Dx) – f(x0) 0 при Dx
Из этого определения следует, что графиком непрерывной в области Д функции будет непрерывная линия. Т.е график этой функции можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.
1. Все основные элементарные ф-ии, кроме tgx, ctgx, 1/xa (a>0) непрерывны.
2. Все основные элементарные ф-ии непрерывны в своей области определения
3. f(x)=E(x)=[x] – разрывна во всех точках x0ÎZ
4. f(x) = (x) = {0, x рациональное число 1, x – нерациональное разрывна во всех точках
5. f(x) = { x2, x<=1 3-x, x>1 x=1 точка разрыва
6. f(x) = { x2, x<=1 2-x, x>1 непрерывна
7. f(x) = sinx/x x=0 точка разрыва
f(x) = { sinx/x , x¹0 1,x=0 непрерывна
Односторонняя непрерывность.
Функция f(x) называется непрерывной слева (справа), если
1. f(x) определена в точке x0
3. limx->x0-0f(x) = f(x0) (limx->x0+0f(x) = f(x0))
определение.
Пусть x0 точка разрыва ф-ии f(x) тогда, если в точке x0 существует КОНЕЧНЫЕ односторонние пределы limx->x0-0f(x) = а <¥ и limx->x0+0f(x) = b <¥
То точка x0 называется точкой разрыва первого рода, при этом, если a=b, то эта точка – точка устранимого разрыва. Во всех остальных случаях точка x0 – точка разрыва второго рода.
СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ.
Теорема 1. Если ф-я f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a,b], то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения.
Теорема 2. (о сохранении знака). Если ф-я непрерывна в некоторой О(x0) – окрестности и f(x0)¹0, то существует Оd(x0) – окрестность, в которой знаки f(x0) и f(x) совпадают.
Теорема 3. (о прохождении через 0). Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)f(b)<0 , т.е. на концах отрезка ф-я принимает значения разных знаков. Тогда внутри интервала [a,b] существует точка С такая, что f(C) = 0. Замечание: если ф-я f(x) строго монотонная, то такая точка С единственная.
Теорема 4. (о промежуточных значениях). Если f(x) непрерывна на [a,b] и f(a) = A ¹ B = f(b), тогда для любой точки СÎ[А,В] существует x0Î[a,b] такое, что f(x0) = C. Замечание: если ф-я f(x) строго монотонна на [a,b], то x0 – единственная.
Теорема 5. Пусть ф-я f(x) g(x) непрерынвы в точке x0, тогда:
1. f(x)+-g(x) непрерывна в точке x0
2. f(x)g(x) непрерывна в точке x0
3. f(x)/g(x) непрерывна в точке x0 если g(x)
непрерывность сложной и обратной функции.
Пусть u = j(x) – непрерывна на [a,b] и y = f(u) непрерывна на [c,d], содержащем все значения ф-ии j(x) на [a,b].
Теорема. Если ф-я непрерывна и строго монотонна на [a,b], то обратная ф-я x = f-1(y) непрерывна на промежутке [f(a),f(b)].