Метод интегрирования по частям

В основе этого метода лежит такая теорема.

Теорема 2. Если функции Метод интегрирования по частям - student2.ru и Метод интегрирования по частям - student2.ru определены и дифференцируемы на промежуткеХи на этом промежутке существует первообразная функции Метод интегрирования по частям - student2.ru , тогда на промежуткеХсуществует также первообразная функции Метод интегрирования по частям - student2.ru и выполняется равенство

Метод интегрирования по частям - student2.ru .(3)

Формула (3) называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Поскольку Метод интегрирования по частям - student2.ru и Метод интегрирования по частям - student2.ru , ее можно записать также в виде

Метод интегрирования по частям - student2.ru . (4)

Эта формула дает возможность свести нахождение интеграла Метод интегрирования по частям - student2.ru к нахождению интеграла Метод интегрирования по частям - student2.ru , который может оказаться более простым, чем исходный.

Пример 7.Для нахождения интеграла Метод интегрирования по частям - student2.ru положим Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru , тогда Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru , и, согласно формуле (4) имеем

Метод интегрирования по частям - student2.ru

Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Классы функций, которые интегрируются по частям

І.В интегралах вида

Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru ,

где Метод интегрирования по частям - student2.ru – многочлен, k – число, целесообразно обозначить Метод интегрирования по частям - student2.ru , а оставшуюся часть подинтегрального выражения – Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Метод интегрирования по частям - student2.ru

Пример 8.

Метод интегрирования по частям - student2.ru

Метод интегрирования по частям - student2.ru

Пример 9.

Метод интегрирования по частям - student2.ru

Метод интегрирования по частям - student2.ru .

ІІ.В интегралах вида

Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru

целесообразно обозначить Метод интегрирования по частям - student2.ru = Метод интегрирования по частям - student2.ru , а оставшуюся часть подинтегрального выражения – Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Метод интегрирования по частям - student2.ru Метод интегрирования по частям - student2.ru

Метод интегрирования по частям - student2.ru

Пример 10.

Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Пример 4.

Метод интегрирования по частям - student2.ru

Метод интегрирования по частям - student2.ru .

ІІІ. В интегралах вида

Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru ,

где а и b — числа, за Метод интегрирования по частям - student2.ru принимается функция Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Метод интегрирования по частям - student2.ru

Интегрирование рациональных дробей

Определение 1. Дробно-рациональной функциейилирациональной дробьюназывается частное двух многочленов Метод интегрирования по частям - student2.ru , где Метод интегрирования по частям - student2.ru и Метод интегрирования по частям - student2.ru – многочлены степени т и п, причем Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Определение 2.Рациональная дробь Метод интегрирования по частям - student2.ru называется правильной, если высший показатель степени числителя т меньше соответствующей степени п знаменателя Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Определение 3.Дробь называется неправильной, если Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Любую неправильную рациональную дробь Метод интегрирования по частям - student2.ru можно, разделив числитель на знаменатель, изобразить в виде суммы многочлена Метод интегрирования по частям - student2.ru и правильной рациональной дроби Метод интегрирования по частям - student2.ru :

Метод интегрирования по частям - student2.ru .(1)

Пример 1. Метод интегрирования по частям - student2.ru – неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель столбиком:

Метод интегрирования по частям - student2.ru

Имеем:

Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Поскольку интегрирование целой части Метод интегрирования по частям - student2.ruдовольно простое, достаточно научиться интегрировать правильные дроби.

Интегрирование правильных рациональных дробей

Определение 4.Дроби вида

І. Метод интегрирования по частям - student2.ru;

ІІ. Метод интегрирования по частям - student2.ru , где Метод интегрирования по частям - student2.ru , целое;

ІІІ. Метод интегрирования по частям - student2.ru , где Метод интегрирования по частям - student2.ru

(трехчлен Метод интегрирования по частям - student2.ru не имеет действительных корней);

ІV. Метод интегрирования по частям - student2.ru , где Метод интегрирования по частям - student2.ru , целое, Метод интегрирования по частям - student2.ru

(трехчлен Метод интегрирования по частям - student2.ru не имеет действительных корней);

где Метод интегрирования по частям - student2.ru – действительные числа, Метод интегрирования по частям - student2.ru , называются простейшими (элементарными) рациональными дробями І, ІІ, ІІІ и ІV типа.

Дальше будет показано, что любую рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей.

Интегралы от простейших рациональных дробей І и ІІ типов находят методом непосредственного интегрирования:

І. Метод интегрирования по частям - student2.ru ; (2)

ІІ.

Метод интегрирования по частям - student2.ru +С.(3)

Пример 2.Найти интеграл Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Решение. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Пример 3.Найти интеграл Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Решение.

Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Пример 4.Найти интеграл Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Решение.

Метод интегрирования по частям - student2.ru

Метод интегрирования по частям - student2.ru

Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Интегрирование рациональной дроби Метод интегрирования по частям - student2.ru сводится к интегрированию простых дробей с помощью следующей важной теоремы алгебры.

Теорема 1. Каждая правильная дробь Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей.

Возможны следующие случаи:

1) корни знаменателя действительные и разные, т.е.

Метод интегрирования по частям - student2.ru .

В этом случае дробь Метод интегрирования по частям - student2.ru раскладывается в сумму простейших дробей I типа:

Метод интегрирования по частям - student2.ru (4)

Метод интегрирования по частям - student2.ru находятся с тождества (4).

2) корни знаменателя действительные, причем некоторые из них кратные, т.е. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

В этом случае дробь Метод интегрирования по частям - student2.ru раскладывается в сумму простейших дробей I и II типа:

Метод интегрирования по частям - student2.ru . (5)

Коэффициенты Метод интегрирования по частям - student2.ru находятся с тождества (5).

3) корни знаменателя действительные, причем некоторые из них кратные, кроме того знаменатель содержит квадратный трехчлен, не имеющий действительных корней.

В этом случае дробь Метод интегрирования по частям - student2.ru раскладывается в сумму простейших дробей I, II, III типов:

Метод интегрирования по частям - student2.ru , (6)

где коэффициенты Метод интегрирования по частям - student2.ru находятся с тождества (6).

Пример 5.Найти Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Решение. Уравнение Метод интегрирования по частям - student2.ru имеет кратный корень Метод интегрирования по частям - student2.ru , поэтому

Метод интегрирования по частям - student2.ru і. Метод интегрирования по частям - student2.ru

Сведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю, получим Метод интегрирования по частям - student2.ru . Тогда

Метод интегрирования по частям - student2.ru

Итак,

Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Поэтому

Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Пример 6.Найти Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Решение. Разложим подинтегральную дробь на простые дроби:

Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Получим

Метод интегрирования по частям - student2.ru

Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Метод интегрирования по частям - student2.ru

Тогда

Метод интегрирования по частям - student2.ru

Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Пример 7.Найти интеграл Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Решение.Выделим целую часть данной неправильной рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель:

Метод интегрирования по частям - student2.ru

Итак,

Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Отсюда находим

Метод интегрирования по частям - student2.ru

Метод интегрирования по частям - student2.ru

Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Пример 8. Вычислить интеграл:

Метод интегрирования по частям - student2.ru

Метод интегрирования по частям - student2.ru Метод интегрирования по частям - student2.ru

Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Наши рекомендации