Метод интегрирования по частям

Пусть функции и имеют непрерывные производные на некотором промежутке. Найдем дифференциал произведения этих функций:

.

Так как по условию функции и непрерывны, можно проинтегрировать обе части этого равенства,

,

или

но

,

следовательно

(4)

В правой части формулы (4) постоянную интегрирования С не пишут, т.к она фактически присутствует в интеграле . Формула (4) называется формулой интегрирования по частям.

Сущность метода интегрирования по частям вполне соответствует его названию. Дело в том, что при вычислении интеграла этим методом подынтегральное выражение представляется в виде произведения множителей и ; при этом обязательно входят в . В результате получается, что заданный интеграл находят по частям: сначала находят , а затем . Естественно, что этот метод применим лишь в случае, если задача нахождения указанных двух интегралов более проста, чем нахождение заданного интеграла.

При вычислении интегралов методом интегрирования по частям главным является разумное разбиение подынтегрального выражения на множители и . Общих установок по этому вопросу не имеется. Однако, для некоторых типов интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям, сделать это возможно.

1. В интегралах вида: , , ,

где Р(х) – многочлен относительно х, а – некоторое число, полагают , а все

остальные сомножители за .

2. В интегралах вида: , , ,

,

полагают , а остальные сомножители за .

3. В интегралах вида: , , где a и b числа, за можно принять

любую из функций или sin bx (или cos bx).

Пример по выполнению практической работы

Пример 1.Вычислить: 1) ; 2)

Решение:

1) ;

2)

Пример 2.Вычислить 1) ; 2)3) 4) ;

5) ;

Решение:

1) Положим 1+x = z. Продифференцируем это неравенство: d(1+ x)= dz или dx = dz. Заменим в интеграле: .

2)Сделав замену: , получим

Тогда:

3) Положим

где ;

4) Пусть , тогда . Поэтому

5) Этот интеграл решается с помощью формул тригонометрии:

.

Поэтому, имеем ;

Пример 3.Вычислить 1) ; 2) ;

Решение:

1) положим , ; тогда , , т.е. . Используя формулу (4), получим .

2) ; положим u=lnx, dv=xdx; тогда ; .

Задания для практического занятия:

Вариант 1

1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:

а) ; б) в)

г) ; д) ; е) ;

2. Методом подстановки вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) е) ; ж) ; з) ;

3. Методом интегрирования по частям вычислить:

а) б)

Вариант 2

1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

2. Методом подстановки вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

3. Методом интегрирования по частям вычислить:

а) ; б)

Вариант 3

1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:

а) ; б) ; в)

г) ; д) ; е) ;

2. Методом подстановки вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

3. Методом интегрирования по частям вычислить:

а) ; б) ;

Вариант 4

1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

2. Методом подстановки вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

3. Методом интегрирования по частям вычислить:

а) ; б) .

Контрольные вопросы

1. Какая функция называется первообразной для функции ?

2. Что называется неопределенным интегралом функции на некотором промежутке?

3. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

4. Перечислите основные табличные интегралы.

5. Какие методы интегрирования вы знаете?

Практическая работа № 23

«Вычисление определенных интегралов»

Цель работы:научиться вычислять определенные интегралы.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:

Студент должен

уметь:

- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.

знать:

- основы дифференциального и интегрального исчисления.

Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.

Методические указания по выполнению работы:

1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.

2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.

3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.

4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.

5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.

5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.