Метод интегрирования по частям

Пусть Метод интегрирования по частям - student2.ru и Метод интегрирования по частям - student2.ru – дифференцируемые функции. Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла имеет вид:

Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Формула интегрирования по частям используется для интегралов следующих типов интегралов:

1. Метод интегрирования по частям - student2.ru ; Метод интегрирования по частям - student2.ru ; Метод интегрирования по частям - student2.ru .

2. Метод интегрирования по частям - student2.ru ; Метод интегрирования по частям - student2.ru ; Метод интегрирования по частям - student2.ru ; Метод интегрирования по частям - student2.ru ; Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Пример.Найти интегралы: а) Метод интегрирования по частям - student2.ru ; б) Метод интегрирования по частям - student2.ru ; в) Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Решение. а) Так как Метод интегрирования по частям - student2.ru , а функция Метод интегрирования по частям - student2.ru при интегрировании практически не изменяется (появляется лишь постоянный множитель) , то данный интеграл можно найти интегрированием по частям , полагая Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru . Найдем необходимые для записи правой части формулы Метод интегрирования по частям - student2.ru и Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Так как Метод интегрирования по частям - student2.ru , то Метод интегрирования по частям - student2.ru . Найдем Метод интегрирования по частям - student2.ru :

Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Теперь, применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

Метод интегрирования по частям - student2.ru

Используя метод разложения, убеждаемся, что полученный интеграл – сумма табличного и интеграла, который был определен при нахождении Метод интегрирования по частям - student2.ru . Таким образом, окончательно

Метод интегрирования по частям - student2.ru Замечание. Анализ полученного решения показывает, что постоянная Метод интегрирования по частям - student2.ru , возникшая при нахождении Метод интегрирования по частям - student2.ru (по заданному Метод интегрирования по частям - student2.ru ) не входит в запись окончательного ответа. Аналогично, в общем случае постоянная Метод интегрирования по частям - student2.ru , возникающая при нахождении Метод интегрирования по частям - student2.ru , исключается в процессе решения. Поэтому в дальнейшем, при интегрировании по частям и нахождении Метод интегрирования по частям - student2.ru будем полагать Метод интегрирования по частям - student2.ru , что несколько упрощает запись решения.

б) Пусть Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru . Тогда

Метод интегрирования по частям - student2.ru

и

Метод интегрирования по частям - student2.ru

Применяя формулу интегрирования по частям , получаем

Метод интегрирования по частям - student2.ru

Метод интегрирования по частям - student2.ru .

В) Пусть Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru . Тогда Метод интегрирования по частям - student2.ru и Метод интегрирования по частям - student2.ru . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

Метод интегрирования по частям - student2.ru

Метод интегрирования по частям - student2.ru .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
(6 заданий по 25 вариантов)

Вариант выбирается студентом в соответствии с последними двумя цифрами зачетной книжки. В случае, если две последние цифры превышают 25, то вариант выбирается по формуле: номер зачетки минус необходимое число раз по 25, пока разность не будет меньше или равна 25.

Задание №1

1. Вычислить матрицу Метод интегрирования по частям - student2.ru , где Метод интегрирования по частям - student2.ru ; Метод интегрирования по частям - student2.ru ; Метод интегрирования по частям - student2.ru .

2. Найти произведение матриц Метод интегрирования по частям - student2.ru , где Метод интегрирования по частям - student2.ru ; Метод интегрирования по частям - student2.ru ; Метод интегрирования по частям - student2.ru .

3. Решить уравнение Метод интегрирования по частям - student2.ru , где Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru .

4. Вычислить матрицу Метод интегрирования по частям - student2.ru , где

Метод интегрирования по частям - student2.ru ; Метод интегрирования по частям - student2.ru ; Метод интегрирования по частям - student2.ru ; Метод интегрирования по частям - student2.ru – единичная матрица.

5. Найти произведение матриц Метод интегрирования по частям - student2.ru и Метод интегрирования по частям - student2.ru , где

Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru .

6. Найти произведение матриц Метод интегрирования по частям - student2.ru , где

Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru .

7. Найти произведение матриц Метод интегрирования по частям - student2.ru , где Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru .

8. Найти значение матричного многочлена Метод интегрирования по частям - student2.ru , если

Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru – единичная матрица третьего порядка.

9. Найти произведение матриц Метод интегрирования по частям - student2.ru , где Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru .

10. Найти произведение матриц Метод интегрирования по частям - student2.ru , где Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru .

11. Найти произведение матриц Метод интегрирования по частям - student2.ru , где Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru .

12. Найти значение матричного многочлена Метод интегрирования по частям - student2.ru , если

Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru – единичная матрица третьего порядка.

13. Вычислить матрицу Метод интегрирования по частям - student2.ru , где

Метод интегрирования по частям - student2.ru ; Метод интегрирования по частям - student2.ru ; Метод интегрирования по частям - student2.ru ; Метод интегрирования по частям - student2.ru – единичная матрица.

14. Решить уравнение Метод интегрирования по частям - student2.ru , где Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru .

15. Найти произведение матриц Метод интегрирования по частям - student2.ru , где, Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru .

16. Найти произведение матриц Метод интегрирования по частям - student2.ru , где Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru .

17. Найти произведение матриц Метод интегрирования по частям - student2.ru , где Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru .

18. Найти произведение матриц Метод интегрирования по частям - student2.ru , где Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru .

19. Найти произведение матриц Метод интегрирования по частям - student2.ru , где Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru .

20. Найти произведение матриц Метод интегрирования по частям - student2.ru , где Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru .

21. Найти произведение матриц Метод интегрирования по частям - student2.ru , где Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru .

22. Найти произведение матриц Метод интегрирования по частям - student2.ru , где Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru .

23. Найти произведение матриц Метод интегрирования по частям - student2.ru , где Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru .

24. Найти произведение матриц Метод интегрирования по частям - student2.ru , где Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru .

25. Найти произведение матриц Метод интегрирования по частям - student2.ru , где Метод интегрирования по частям - student2.ru , Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Задание №2

Вычислить определители:

1. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 2. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 3. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

4. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 5. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 6. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

7. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 8. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 9. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 10. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 11. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 12. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

13. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 14. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 15. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

16. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 17. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 18. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

19. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 20. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 21. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

22. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 23. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 24. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

25. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Задание №3

Вычислить обратную матрицу Метод интегрирования по частям - student2.ru , если дана матрица Метод интегрирования по частям - student2.ru :

1. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 2. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 3. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 4. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

5. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 6. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 7. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 8. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

9. Метод интегрирования по частям - student2.ru .10. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 11. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 12. Метод интегрирования по частям - student2.ru

13. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 14. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 15. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 16. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

17. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 18. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 19. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 20. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

21. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 22. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 23. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 24. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

25. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Задание №4

Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса:

1. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 2. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 3. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

4. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 5. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 6. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

7. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 8. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 9. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

10. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 11. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 12. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

13. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 14. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 15. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

16. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 17. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 18. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

19. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 20. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 21. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

22. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 23. Метод интегрирования по частям - student2.ru .24. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

25. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Задание №5

Найти производные функций:

1. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 2. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 3. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

4. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 5. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 6. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

7. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 8. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 9. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

10. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 11. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 12. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

13. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 14. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 15. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

16. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 17. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 18. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

19. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 20. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 21. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 22. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 23. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

24. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 25. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

Задание №6

6.1. Используя метод разложения найти интегралы:

1. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 2. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 3. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 4. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

5. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 6. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 7. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

8. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 9. Метод интегрирования по частям - student2.ru .10. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 11. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

12. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 13. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 14. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

15. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 16. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 17. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

18. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 19. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 20. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

21. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 22. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 23. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

24. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 25. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

6.2. Используя метод замены переменной, найти интегралы:

1. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 2. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 3. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 4. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 5. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

6. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 7. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 8. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 9. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 10. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 11. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 12. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 13. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

14. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 15. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 16. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 17. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

18. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 20. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 21. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 22. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

23. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 24. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 25. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

6.3. Используя метод интегрирования по частям, вычислить интегралы:

1. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 2. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 3. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 4. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

5. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 6. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 7. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 8. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

9. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 10. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 11. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

12. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 13. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 14. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 15. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

16. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 17. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 18. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

19. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 20. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 21. Метод интегрирования по частям - student2.ru .

22. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 23. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 24. Метод интегрирования по частям - student2.ru . 25. Метод интегрирования по частям - student2.ru

Наши рекомендации