Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференцирования произведения двух функций.

Если и − дифференцируемые функции, то

.

Интегрируя это равенство, получим

или

.

Тогда

.

Последняя формула называется формулой интегрирования по частям. Она сводит вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться более простым, чем первый.

В таблице приведены типы интегралов, которые могут быть вычислены только по частям, и указано, что следует принимать за u и, что на dv.

№ п/п	Интеграл	u	dv
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

где а и b − числа.

Замечание.

Иногда, для получения результата надо последовательно применить интегрирование по частям несколько раз.

Примеры

1. ;

2.

;

3.

.

Упражнения

Найти интегралы, используя непосредственное интегрирование:

1.	;	Ответ: ;
2.	;	Ответ: ;
3.	;	Ответ: ;
4.	;	Ответ: ;
5.	;	Ответ: ;
6.	;	Ответ: ;
7.	;	Ответ: ;
8.	;	Ответ: ;
9.		Ответ: ;
10.	;	Ответ: .

Найти интегралы, используя метод подстановки:

11.	;	Ответ: ;
12.	;	Ответ: ;
13.	;	Ответ: ;
14.	;	Ответ: ;
15.	;	Ответ: ;
16.	;	Ответ: ;
17.	;	Ответ: ;
18.	;	Ответ: ;
19.	;	Ответ: ;
20.	;	Ответ: ;
21.	;	Ответ: ;
22.	;	Ответ: ;
23.	;	Ответ: ;
24.	;	Ответ: .

Найти интегралы, используя интегрирование по частям:

25.	;	Ответ: ;
26.	;	Ответ: ;
27.	;	Ответ: ;
28.	;	Ответ: ;
29.	;	Ответ: ;
30.	;	Ответ: .

ЛИТЕРАТУРА

1. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов.−
М.: Физматлит, 2004.

2. Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов.−М.: Аспект Пресс, 2005.

3. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики.−
М.: Астрель×АСТ, 2004.

4. Дорофеева А.В. Высшая математика. Гуманитарные специальности.−
М.: Дрофа, 2004.

5. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике.−М.: Айрис Пресс, 2006.

6. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. −М.: Наука, 1968.

7. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа.−
М.: Физматлит, 2003.

8. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.I,II.−М.: Наука, 1966.

9. Фролов С.В., Шостак Р.Я. Курс высшей математики.−М.: Высшая школа, 1973.

ОГЛАВЛЕНИЕ

	Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	ГЛАВА I. Функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.	Переменная величина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.	Понятие функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.	Область определения и изменения функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.	Последовательность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.	График функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.	Способы задания функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.	Основные элементарные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.	Сложная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.	Обратная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.	Элементарные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.	Явные и неявные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12.	Основные характеристики функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	ГЛАВА 2. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.	Определение предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.	Односторонние пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.	Условие существования предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.	Предел функции при бесконечно большом значении аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.	Предел числовой последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.	Бесконечно большие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.	Бесконечно малые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.	Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.	Основные теоремы о пределах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.	Признак существования предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.	Два замечательных предела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.	Эквивалентные бесконечно малые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13.	Вычисление пределов функций. Раскрытие неопределенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	ГЛАВА 3. Непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.	Определение непрерывности функции в точке . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.	Односторонняя непрерывность в точке. Непрерывность функции в интервале и на отрезке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.	Точки разрыва функции и их классификация . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.	Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.	Свойства функций, непрерывных на отрезке . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	ГЛАВА 4. Производная и дифференциал функции . . . . . .
4.1.	Определение производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.	Геометрический смысл производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.	Физический смысл производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.	Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.	Производная суммы, разности, произведения и частного функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.	Производная сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.	Производная обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.	Таблица производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9.	Примеры отыскания производных сложных функций . . . . . . . . . .
4.10.	Производная функции, заданной параметрически . . . . . . . . . . . . .
4.11.	Производная неявной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.12.	Логарифмическое дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13.	Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.14.	Определение дифференциала функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.15.	Основные теоремы о дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.16.	Дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.17.	Основные теоремы дифференциального исчисления . . . . . . . . . . .
4.18.	Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей . . . . . . . . .
	Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	ГЛАВА 5. Исследование функций и построение графиков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.	Возрастание и убывание функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.	Максимум и минимум функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.	Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. . . . . . .
5.4.	Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба . . . .
5.5.	Асимптоты графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.	Общая схема исследования функции и построение графика . . . . .
	Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	ГЛАВА 6. Неопределенный интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.	Первообразная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.	Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.	Свойства неопределенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.	Таблица основных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.	Методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .