Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть y = f(x) – заданная и непрерывная для всех x ≥ α функция. Тогда для любого b ≥ a существует . Поставим вопрос о пределе этого интеграла при b → ¥.

Определение.

(11)

называется несобственным интегралом от функции f(x) с бесконечным верхним пределом. Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся. А если же он не существует или равен
± ¥, то этот несобственный интеграл называется расходящимся.

Если f(x) ≥ 0 для всех x ≥ a, то у несобственного интеграла (11) имеется очевидный геометрический смысл, вытекающий из геометрического смысла обычного определенного интеграла. Действительно, согласно рис. 2.

(12)

А тогда

(13)

Здесь S_¥ - площадь бесконечно протяженной в направлении оси ох криволинейной трапеции (рис.3). Несмотря на свою бесконечную протяженность, она может оказаться и конечной. Но это может произойти, согласно рис. 3, лишь в случае, когда y =f(x) → 0 при x →¥. Да и то, если функция y =f(x) → 0 при x → ¥ достаточно быстро.

Пример 3. Найти площадь S_¥, изображенную на рис. 4.

Решение:

,
так как lnb → ¥ при b → ¥.

Итак, S_¥ = ¥. И это несмотря на то, что функция при x → ¥. Несобственный интеграл , а значит, он расходится.

Пример 4. Найти площадь S_¥ , изображенную на рис. 5.

Решение:

Здесь S_¥ = 1. То есть бесконечно протяженная площадь оказалась конечной. Это произошло потому, что подынтегральная функция при x → ¥ достаточно быстро (по крайней мере, гораздо быстрее, чем подынтегральная функция в предыдущем примере). Несобственный интеграл (число), а значит, он сходится.

Пример 5. Выяснить, сходится или расходится несобственный интеграл .

Решение. Вычислим это интеграл:

– не существует. Это очевидно, если вспомнить поведение графика функции y= = sinx (синусоиды) при x → ¥. Таким образом, не существует, а значит, он расходится. Впрочем, это и не могло быть иначе, ибо подынтегральная функция cosx не стремится к нулю при х → ¥.

Заметим, что при вычислении несобственных интегралов типа , как и при вычислении обычных определенных интегралов , можно сразу применять формулу Ньютона-Лейбница:

Здесь

(14)

Действительно:

Если значение F(¥) существует и конечно, то согласно формуле (14) Ньютона-Лейбница сходится и несобственный интеграл .

Примечание. Совершенно аналогично интегралам с бесконечным верхним пределом можно рассматривать несобственные интегралы с бесконечным нижним пределом и даже с обоими бесконечными пределами интегрирования. То есть интегралы вида

(15)

Для их вычисления тоже можно применять формулу Ньютона-Лейбница.

Пример 6.

Итак, (число), то есть этот интеграл сходится. Его величина π равна площади S_¥ бесконечно протяженной в обе стороны фигуры, изображенной на рис. 6.

Заметим, что сам факт сходимости-расходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования не обязательно устанавливать с помощью прямого вычисления этих интегралов. Это вопрос часто можно решить и гораздо проще, сравнив данный несобственный интеграл с каким-либо другим, для которого сходимость-расходимость уже установлена.

Пусть, например, для всех имеет место неравенство f(x)£ g(x), где y = f(x) и y = g(x) – две непрерывные и неотрицательные функции (рис.7). Тогда очевидно, что

(16)

Из неравенства (6) и рис. 7 очевидным образом следует так называемый признак сравнения несобственных интегралов:

1) Если (число) - сходится, то и (число) - сходится, причем B<A. 2) Если - расходится, то и - расходится. 3) Если - расходится, то - об этом интеграле ничего сказать нельзя. 4) Если (число) - сходится, то - об этом интеграле ничего сказать нельзя.

(17)

В качестве функции g(x), с которой на промежутке сравнивают данную функцию f(x), часто используют функцию , а в качестве интеграла сравнения – интеграл , учитывая при этом, что при a > 0 и любых α функция - положительная и непрерывная функция, и что

(18)

Пример 7. Исследовать на сходимость-расходимость

Решение. Очевидно, что для всех x Î [2; ¥). Поэтому

.

Но согласно (18) интеграл сходится. Поэтому, по признаку сравнения, сходится и (он представляет собой некоторой конкретное число). Более того, предыдущее неравенство дает и оценку этого числа: так как, согласно (18), , то

.

Пример 8. Исследовать на сходимость-расходимость .

Решение. Очевидно, что

для всех x Î [3; ¥).

Следовательно,

.

Но последний интеграл равен ¥. Следовательно, равен ¥ и . То есть он расходится.

Примечание. Справедлив и более сильный (обобщенный) признак сравнения, который применим для любых непрерывных и неотрицательных на
[a; ¥) функций. А именно, если

,

(19)

то есть если f(x) эквивалентна g(x) (f(x) ~ g(x)) при х ® ¥, то несобственные интегралы

сходятся или расходятся одновременно.

Пример 9. Исследовать на сходимость-расходимость .

Решение. Исследовав функцию , легко показать, что она определена, а следовательно и непрерывна для всех х Î [10; ¥). При этом

Но, согласно (18), сходится. Поэтому и сходится.

Теперь перейдем к более сложному случаю несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования, когда подынтегральная функция знакопеременна на своей области интегрирования (рис.8). Тогда

(20)

где А>0 – сумма площадей, находящихся над осью ох, а В>0 – сумма площадей, находящихся под осью ох.

Рассмотрим еще один несобственный интеграл, только уже от |f(x)|:

(21)

а) Допустим, что сходится. Тогда А + В – конечное положительное число. А значит, и его положительные слагаемые А и В – конечные положительные числа. Но тогда и их разность А – В – конечное число (его знак может быть любым). А значит, согласно (20), несобственный интеграл сходится.

б) Допустим, что расходится (равен +¥). Тогда сумма А+В = +¥, а значит, или А, или В, или оба они одновременно равны +¥. Но их разность А – В может оказаться как бесконечной, так и конечной. То есть может как сходиться, так и расходиться.

Если сходится, и при этом сходится, то говорят, что сходится абсолютно. Величину абсолютно сходящегося несобственного интеграла можно и оценить:

(22)

Действительно, неравенство (22) равносильно очевидному неравенству

(23)

А если сходится, но при этом расходится, то говорят, что сходится условно.

Пример 10. Показать, что сходится, причем абсолютно.

Решение. Рассматривая и используя признак сравнения (17), получаем:

Таким образом, сходится. Но тогда и сходится, причем абсолютно. Более того, мы можем произвести, используя неравенство (22), оценку этого интеграла:

То есть абсолютная величина интеграла заключена в пределах
[0; 1].

Пример 11. Доказать, что сходится, но условно.

Решение. Применим к этому интегралу формулу (5) интегрирования по частям:

Интеграл , как и рассмотренный в примере 10 интеграл , сходится. А значит, сходится и . Но сходится он условно, ибо (расходится).

Действительно, так как для всех х, то для всех х. А значит

Но

Последний интеграл , как и аналогичные интегралы и , сходится (это можно подтвердить интегрированием по частям). То есть - число. А значит, (расходится). Но тогда и бóльший интеграл (расходится). То есть сходится, но условно.

Несобственные интегралы с конечными пределами интегрирования
от неограниченных функций.

Под указанными несобственными интегралами понимаются интегралы вида , где f(x) – разрывная в некоторой точке (точках) конечного промежутка интегрирования [a; b] функция, обращающаяся в этих точках в бесконечность (любого знака).

Будем пока считать, что такая точка одна, и эта точка – правая крайняя точка промежутка интегрирования (верхний предел b интеграла ). То есть будем считать, что функция f(x) непрерывна на полуинтервале [a; b), причем

f(x) ® ±¥ при х ® b

(24)

Под интегралом в этом случае, по определению, понимается предел обычного определенного интеграла :

(25)

Этот интеграл называется несобственным интегралом от функции, неограниченной на правом конце промежутка интегрирования. Если он существует и конечен, то он называется сходящимся. Если же не существует или равен +¥ или -¥, то он называется расходящимся.

В частности, если f(x)≥0на [a; b) и f(x) ® +¥ при х ® b, то геометрическую иллюстрацию равенства (25) дают рисунки 5.21(а) и 5.21(б):

(26)

Таким образом, согласно рис. 9(б), - площадь бесконечно протяженной вдоль оси оу криволинейной трапеции. А она, как и площадь S_¥ на рис.3, может оказаться как конечной, так и бесконечной. То есть несобственный интеграл может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.

Установить сходимость или расходимость несобственного интеграла можно на основе его прямого вычисления по формуле Ньютона-Лейбница:

(27)

Подтвердим это, исходя из определения (25):

Пример 12. Вычислить несобственный интеграл .

Решение. Этот интеграл действительно несобственный, так как его подынтегральная функция имеет особую точку , в которой , а значит, в которой функция обращается в бесконечность:

Вычисляя указанный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница (27), получим:

Таким образом, данный несобственный интеграл расходится.

Примечание. Мы ввели понятие несобственного интеграла от функции f(x), неограниченной (обращающейся в бесконечность) на правом конце промежутка интегрирования [a; b]. Но этот же интеграл будет несобственным, если f(x) неограничена на левом конце промежутка интегрирования (в точке а), а также в некоторой внутренней его точке с. В последнем случае разбивают на два несобственных интеграла:

(28)

Оба эти интеграла с особой точкой на краю промежутка интегрирования можно вычислять по формуле Ньютона-Лейбница.

Пример 13. Вычислив несобственный интеграл , доказать сходимость этого интеграла. Полученному результату дать геометрическую иллюстрацию.

Решение. Данный интеграл действительно несобственный, так как его подынтегральная функция обращается в ¥ в точке х = 0 ( . Вычислим его по формуле Ньютона-Лейбница:

Таким образом сходится. Его геометрическая иллюстрация дана на рис. 10.

Заметим, что вопрос о сходимости-расходимости несобственных интегралов от неограниченных функций, как и вопрос о сходимости-расходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования, совсем не обязательно выяснять, вычисляя эти интегралы. Можно попробовать сравнить данный несобственный интеграл с каким-либо другим с теми же пределами интегрирования.

Пусть, например, y = f(x) и y = g(x) – две непрерывные в полуинтервале
[a; b)и неотрицательные функции. И пусть f(x) £ g(x) для всех х Î [a; b). Пусть, кроме того, f(x) ® +¥ и g(x) ® +¥ при х ® b (рис. 11). Тогда, очевидно,

(29)

Из этого неравенства очевидным образом вытекает следующий признак сравнения:

а) Если = (число)– сходится, то и =(число)– сходится. б) Если – расходится, то и – расходится

(30)

В качестве функции g(x), с которой сравнивают данную функцию f(x), часто используют функцию , учитывая при этом, что

(31)

Пример 14. Исследовать на сходимость-расходимость .

Решение. Подынтегральная функция , поэтому данный интеграл является несобственным. При этом очевидно, что для всех х Î [0; 1)

Но , согласно (31), сходится. Поэтому и меньший интеграл сходится. Более того, можем оценить и значение этого интеграла:

.

Впрочем, мы можем вычислить этот интеграл и точно:

x 0 1 t 1 0

Упражнения

1. Прямым вычислением несобственного интеграла исследовать его на сходимость-расходимость.

Ответ: – интеграл сходится.

2. Используя признак сравнения (17) и учитывая, что для всех х Î [1; ¥), исследовать на сходимость интегралы:

а) ; б) .

Ответ: а) расходится; б) сходится.

3. Используя обобщенный признак сравнения (19), показать, что из двух несобственных интегралов

а) ; б)

интеграл (а) расходится, а интеграл (б) сходится.

4. Вычислив несобственный интеграл , подтвердить его сходимость.

5. Вычислив несобственный интеграл , подтвердить его расходимость.

6. Используя признак сравнения (30), показать, что несобственный интеграл расходится. Подтвердить это прямым вычислением интеграла.

7. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

а) , б) .

Ответ: а) сходится , б) сходится .